Twierdzenie Radona-Nikodýma

Twierdzenie Radona-Nikodýma – twierdzenie teorii miary mówiące o reprezentacji pewnych σ-addytywnych funkcjonałów na przestrzeniach mierzalnych, czyli miar. Twierdzenie sformułowane przez Johanna Radona zostało uogólnione przez Ottona M. Nikodýma w 1930 r.

David Fremlin opisuje to twierdzenie oraz środki techniczne potrzebne do jego dowodu jako znajdujące się wśród sześciu najważniejszych wyników teorii miary^[1].

Oznaczenia i podstawowe definicje

${\displaystyle \Omega }$ jest dowolnym zbiorem, natomiast ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ jest σ-ciałem jego podzbiorów. Na σ-ciele ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ustalone są z kolei pewne funkcje ${\displaystyle \mu \colon {\mathcal {A}}\longrightarrow [0,+\infty ],\nu \colon {\mathcal {A}}\longrightarrow \mathbb {R} .}$

• Funkcja ${\displaystyle \nu }$ nazywana jest σ-addytywną, jeśli dla każdego ciągu parami rozłącznych zbiorów ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots \in {\mathcal {A}}}$ spełniony jest warunek

${\displaystyle \nu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\nu (A_{n}).}$

• Jeśli ${\displaystyle \mu }$ jest miarą oraz ${\displaystyle \nu }$ jest σ-addytywną funkcją zbiorów, to mówi się, że ${\displaystyle \nu }$ jest bezwzględnie (absolutnie) ciągła względem ${\displaystyle \mu }$ (ozn. ${\displaystyle \nu \ll \mu }$), gdy dla każdego ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ spełniony jest warunek

${\displaystyle \mu (A)=0\Rightarrow \nu (A)=0.}$

Twierdzenie Radona-Nikodýma

Niech ${\displaystyle \nu }$ będzie σ-addytywną funkcją zbioru oraz ${\displaystyle \mu }$ będzie miarą σ-skończoną. Jeśli ${\displaystyle \nu }$ jest absolutnie ciągła względem ${\displaystyle \mu ,}$ to istnieje taka funkcja ${\displaystyle h\in L^{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ (zob. przestrzeń L^p), że dla ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$

Ilustracja konieczności założenia absolutnej ciągłości miar – nośniki miar są oznaczone jako ${\displaystyle S_{\mu }}$ i ${\displaystyle S_{\nu }.}$ Miary mają wartość 0 na zbiorach poza swoimi nośnikami. Całka po zbiorze A względem miary ${\displaystyle \mu }$ jest równa 0, bo leży on poza jej nośnikiem; z kolei ${\displaystyle \nu (A)>0,}$ więc twierdzenie nie może być spełnione. Konieczne jest więc założenie ${\displaystyle S_{\nu }\subseteq S_{\mu },}$ czyli po prostu ${\displaystyle \color {blue}\nu \ll \mu .}$

${\displaystyle \nu (A)=\int \limits _{A}hd\mu .}$

Funkcja ${\displaystyle h}$ wyznaczona ${\displaystyle \mu }$-prawie wszędzie, nazywana jest pochodną Radona-Nikodýma funkcji ${\displaystyle \nu }$ względem ${\displaystyle \mu }$ i oznaczana jest symbolem

${\displaystyle h={\frac {d\nu }{d\mu }}.}$

Własności

Jeżeli ${\displaystyle \lambda \colon {\mathcal {A}}\to \mathbb {R} }$ jest σ-addytywną funkcją zbiorów bezwzględnie ciągłą względem ${\displaystyle \mu }$ oraz ${\displaystyle \lambda \leqslant \nu ,}$ to

• ${\displaystyle {\frac {d\lambda }{d\mu }}\leqslant {\frac {d\nu }{d\mu }},}$

• ${\displaystyle {\frac {d(a\lambda +b\nu )}{d\mu }}=a{\frac {d\lambda }{d\mu }}+b{\frac {d\nu }{d\mu }}}$

o ile ${\displaystyle a\lambda ,b\nu >-\infty }$ stale lub ${\displaystyle a\lambda ,b\nu <+\infty }$ stale dla liczb rzeczywistych ${\displaystyle a,b.}$

Twierdzenie o zamianie miary

Pod założeniami twierdzenia Radona-Nikodýma, jeżeli ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ oraz ${\displaystyle f\in L^{1}(A,{\mathcal {A}}|_{A},\nu ),}$ to ${\displaystyle f{\frac {d\nu }{d\mu }}\in L^{1}(A,{\mathcal {A}}|_{A},\mu )}$ oraz

${\displaystyle \int \limits _{A}fd\nu =\int \limits _{A}f{\frac {d\nu }{d\mu }}d\mu .}$

Zobacz też

• twierdzenie Hahna o rozkładzie
• twierdzenie Riesza-Skorochoda

Przypisy

Bibliografia

• Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973, s. 202–207.
• Paul R. Halmos: Measure theory. New York, Springer-Verlag [1974, c1950], s. 128–136. ISBN 0-387-90088-8.
• Joseph Diestel, Jerry Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: World Scientific Pub Co Inc., 2002. ISBN 978-0821815151.