Twierdzenie Ramseya

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria grafów.

Najważniejsze pojęcia graf drzewo podgraf cykl klika stopień wierzchołka stopień grafu dopełnienie grafu obwód grafu pokrycie wierzchołkowe liczba chromatyczna indeks chromatyczny izomorfizm grafów homeomorfizm grafów więcej... Wybrane klasy grafów graf pełny graf spójny drzewo graf dwudzielny graf regularny graf eulerowski graf hamiltonowski graf planarny więcej... Algorytmy grafowe A* Bellmana-Forda Dijkstry Fleury'ego Floyda-Warshalla Johnsona Kruskala Prima przeszukiwanie grafu – wszerz – w głąb najbliższego sąsiada Zagadnienia przedstawiane jako problemy grafowe problem komiwojażera problem chińskiego listonosza problem marszrutyzacji problem kojarzenia małżeństw Inne zagadnienia kod Graya diagram Hassego kod Prüfera

Twierdzenie Ramseya – twierdzenie matematyczne dotyczące teorii grafów, udowodnione przez F. Ramseya.

Przedstawienie graficzne

Jeśli narysujemy ${\displaystyle n}$ punktów i połączymy je każdy z każdym dwoma kolorami, to ${\displaystyle n}$ jest ${\displaystyle k}$-tą liczbą Ramseya wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle n}$ jest najmniejszą liczbą taką, że na takim grafie pełnym znajdziemy jednokolorową klikę o ${\displaystyle k}$ wierzchołkach.

Liczby Ramseya

Definicja

Liczbą Ramseya ${\displaystyle R(q_{1},q_{2},q_{3},\dots ,q_{k})}$ dla ${\displaystyle k,q_{1},q_{2},\dots ,q_{k}\in N}$ i ${\displaystyle k\geqslant 2}$ nazywamy najmniejszą liczbę ${\displaystyle n,}$ taką że dla dowolnego ${\displaystyle k}$-pokolorowania krawędziowego ${\displaystyle n}$-wierzchołkowego grafu pełnego istnieje ${\displaystyle i,1\leqslant i\leqslant k,}$ takie, że w pokolorowanym grafie jest klika rozmiaru ${\displaystyle q_{i},}$ której wszystkie krawędzie są w kolorze ${\displaystyle i.}$

Dwukolorowanie krawędzi grafu K₅ bez monochromatycznej kliki rozmiaru 3. Dowód, że ${\displaystyle R(3,3)>5.}$

Przykład

Aby znaleźć na przykład wartość R(3,3), kolorujemy krawędzie grafów pełnych dwoma kolorami (np. czerwonym i niebieskim), szukając najmniejszego grafu pełnego, dla którego przy dowolnym kolorowaniu znajdziemy albo trójkąt czerwony, albo trójkąt niebieski. Okazuje się, że R(3,3)=6. Dowód: wybierzmy dowolny punkt grafu pełnego o sześciu wierzchołkach. Wychodzi z niego pięć krawędzi, więc przynajmniej trzy mają wspólny kolor. Załóżmy bez utraty ogólności, że są to trzy czerwone krawędzie (sytuacje te charakteryzują się pełną symetrią). Krawędzie te prowadzą do trzech różnych punktów; te trzy nowe punkty są połączone między sobą trzema krawędziami. Jeżeli choć jedna z nowych krawędzi jest czerwona, powstaje czerwony trójkąt, w przeciwnym przypadku powstaje niebieski trójkąt. Wobec tego R(3, 3) nie może być większe od 6. Rysunek po lewej dowodzi, że nie może być równe 5 ani mniejsze, więc istotnie jest równe 6. Ma to bardzo wygodną interpretację, mianowicie w zbiorze 6 osób zawsze znajdziemy 3 osoby znające się wzajemnie lub 3 osoby, które się nie znają.

Wyznaczanie wartości liczb Ramseya

Okazuje się, że wyznaczenie wartości liczb Ramseya jest bardzo trudnym obliczeniowo zadaniem. Często mamy do dyspozycji bardzo dokładne ich oszacowania, a nie jesteśmy w stanie określić ich wartości, mimo że nie są to wielkie liczby. Poniżej dotychczasowe osiągnięcia w tej dziedzinie:

źródło: Optymalizacja dyskretna, modele i metody kolorowania grafów, pod redakcją Marka Kubale, WNT 2002.

Algorytm kwantowy

W roku 2011 zaproponowany został kwantowy algorytm obliczania dwukolorowych liczb Ramseya ${\displaystyle R(m,n)}$^[1]. Algorytm został następnie użyty eksperymentalnie do wyliczenia liczb ${\displaystyle R(2,4),R(2,5),R(2,6),R(2,7),R(2,8)}$ i ${\displaystyle R(3,3),}$ używając komputera kwantowego o 84 kubitach^[2]. Minimalna liczba kubitów niezbędna do wyliczenia dwukolorowej liczby Ramseya wynosi ${\displaystyle N(N-1)/2}$ gdzie ${\displaystyle N}$ jest wartością wyliczanej liczby^[1]. Zaproponowany algorytm kwantowy sprawdza, czy dla danej liczby wierzchołków wszystkie grafy mają własność podaną w definicji. Dla znalezienia liczby Ramseya algorytm uruchamiany jest kolejno dla coraz większych ${\displaystyle N,}$ szukaną wartością ${\displaystyle R(m,n)}$ jest najniższe ${\displaystyle N}$ dla którego zwróci on odpowiedź pozytywną.

Nieklasyczne liczby Ramseya

Klasyczne liczby Ramseya zdefiniowane są za pomocą kolorowania grafów pełnych, w których poszukujemy monochromatycznych klik (czyli podgrafów pełnych). Pojęcie można jednak uogólnić na poszukiwania dowolnych podgrafów monochromatycznych.

Zobacz też

• kolorowanie krawędzi
• liczba Grahama

Przypisy

Bibliografia

• Magazyn Miłośników Matematyki 3/2008.
• Tomasz Bartnicki. Czy 11 jest największą liczbą na świecie?. „Matematyka Społeczeństwo Nauczanie”. 39, s. 32–37, styczeń 2007.