Twierdzenie Riesza (przestrzenie Hilberta)

Ten artykuł od 2012-11 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła, najlepiej w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Twierdzenie Riesza – twierdzenie analizy funkcjonalnej noszące nazwisko Frigyesa Riesza, które opisuje strukturę przestrzeni sprzężonej topologicznie do danej przestrzeni Hilberta w daleko bardziej satysfakcjonujący sposób niż ogólniejsze twierdzenie Hahna-Banacha (obowiązujące dla przestrzeni Banacha). Wśród jego nazw spotyka się oprócz nazwiska Riesza również nazwisko Maurice’a Frécheta oraz nazwy opisowe np. „o reprezentacji (funkcjonału)”, czasami również z zastrzeżeniem „w przestrzeniach Hilberta”.

Stanowi ono odwrócenie następującej obserwacji, iż dla dowolnie wybranego elementu ${\displaystyle y}$ ustalonej przestrzeni Hilberta odwzorowanie dane wzorem ${\displaystyle x\mapsto \langle x,y\rangle }$ jest (ciągłym) funkcjonałem liniowym, tj. każdy funkcjonał liniowy można przedstawić w tej postaci. Ponadto zapewnia ono o równoważności struktur unitarnych (m.in. izomorficzności jako przestrzeni liniowych oraz izometryczności jako przestrzeni unormowanych; zob. przekształcenie unitarne) przestrzeni Hilberta oraz przestrzeni sprzężonej do niej.

Twierdzenie

Niech ${\displaystyle H}$ będzie przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle ,}$ zaś ${\displaystyle H^{*}}$ będzie przestrzenią sprzężoną do ${\displaystyle H.}$ Wówczas dla każdego funkcjonału liniowego ${\displaystyle y^{*}\in H^{*}}$ istnieje^[1] jeden i tylko jeden element ${\displaystyle y\in H}$ spełniający dla wszystkich ${\displaystyle x\in H}$ tożsamość

${\displaystyle y^{*}(x)=\langle x,y\rangle .}$

Ponadto odwzorowanie ${\displaystyle H\to H^{*}}$ dane wzorem ${\displaystyle y\mapsto y^{*}}$ jest wzajemnie jednoznacznym przekształceniem antyliniowym zachowującym normę; jeśli ${\displaystyle H}$ określona jest nad ciałem liczb rzeczywistych (a nie liczb zespolonych), to wspomniane odwzorowanie jest przekształceniem liniowym zachowującym normę (tzn. jest izometrią liniową, a nie antyliniową).

Dowód

W dalszej części ${\displaystyle \emptyset }$ oznaczać będzie funkcjonał zerowy, czyli dany wzorem ${\displaystyle \emptyset (x)=0}$ dla każdego ${\displaystyle x\in H.}$

Jeżeli ${\displaystyle H}$ jest skończonego wymiaru, to istnienie odpowiedniego ${\displaystyle y\in H}$ dla ${\displaystyle y^{*}\in H^{*}}$ wynika z jednoznaczności, gdyż iniektywne przekształcenie ${\displaystyle (\cdot )^{*}\colon H\to H^{*}}$ dane wzorem ${\displaystyle y\mapsto y^{*}=\langle \cdot ,y\rangle }$ jest wtedy suriekcją, a zatem jest izomorfizmem liniowym w przypadku rzeczywistym (zob. dowód) i antyliniowym w przypadku zespolonym (zob. Antyliniowość niżej); w przeciwnym przypadku dla ogólnej przestrzeni liniowej ${\displaystyle V}$ jest ${\displaystyle \dim V<\dim V^{*},}$ ograniczenie przestrzeni sprzężonej do ciągłych funkcjonałów liniowych sprawia jednak, że ${\displaystyle \dim H=\dim H^{*}}$ na podstawie izomorfizmu ${\displaystyle (\cdot )^{*}}$ skonstruowanego niżej.

Istnienie

Dla ${\displaystyle y^{*}=\emptyset }$ wystarczy wziąć ${\displaystyle y=0}$ i wtedy ${\displaystyle y^{*}(x)=\langle x,0\rangle =0}$ dla każdego ${\displaystyle x\in H;}$ niech więc ${\displaystyle y^{*}\neq \emptyset ,}$ wtedy ${\displaystyle \ker y^{*}}$ jest właściwą podprzestrzenią ${\displaystyle H.}$ Ponieważ ${\displaystyle y^{*}}$ jest ciągły, to zbiór ${\displaystyle \ker y^{*}}$ jest domknięty^[2][3]. Z twierdzenia o rzucie ortogonalnym wynika, że

${\displaystyle H=\ker y^{*}\oplus (\ker y^{*})^{\perp },}$

a skoro ${\displaystyle \ker y^{*}\neq H,}$ to ${\displaystyle (\ker y^{*})^{\perp }\neq \{0\},}$ a zatem można znaleźć taki element ${\displaystyle z\in (\ker y^{*})^{\perp },}$ dla którego ${\displaystyle \|z\|=1.}$ Ponieważ ${\displaystyle z\in (\ker y^{*})^{\perp },}$ to dla każdego ${\displaystyle x\in H}$ zachodzi

${\displaystyle y^{*}(x)\ z-y^{*}(z)\ x\in \ker y^{*},}$

gdyż na mocy liniowości funkcjonału ${\displaystyle y^{*}{\big (}y^{*}(x)\ z-y^{*}(z)\ x{\big )}=y^{*}(x)y^{*}(z)-y^{*}(z)y^{*}(x)=0;}$ dlatego

${\displaystyle 0={\big \langle }y^{*}(x)\ z-y^{*}(z)\ x,z{\big \rangle }=y^{*}(x)\langle z,z\rangle -y^{*}(z)\langle x,z\rangle =y^{*}(x)-y^{*}(z)\langle x,z\rangle }$

a stąd

${\displaystyle y^{*}(x)=\left\langle x,{\overline {y^{*}(z)}}\ z\right\rangle ;}$

aby teza twierdzenia była spełniona, wystarczy przyjąć ${\displaystyle y={\overline {y^{*}(z)}}\ z,}$ gdzie ${\displaystyle {\overline {w}}}$ oznacza sprzężenie zespolone skalara ${\displaystyle w.}$

Jednoznaczność

Niech ${\displaystyle y_{1},y_{2}\in H}$ będą dwoma elementami, które dla każdego ${\displaystyle x\in H}$ spełniają

${\displaystyle y^{*}(x)=\langle x,y_{1}\rangle =\langle x,y_{2}\rangle ;}$

wówczas, z liniowości, ${\displaystyle \langle x,y_{1}-y_{2}\rangle =0}$ dla każdego ${\displaystyle x\in H,}$ biorąc ${\displaystyle x=y_{1}-y_{2}}$ otrzymuje się ${\displaystyle \|x\|=\|y_{1}-y_{2}\|=0,}$ co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle y_{1}-y_{2}=0,}$ czyli ${\displaystyle y_{1}=y_{2}.}$

Izometryczność

Iloczyn skalarny jest ciągły ze względu na pierwszą zmienną; zatem funkcjonał liniowy dany wzorem ${\displaystyle y^{*}(x)=\langle x,y\rangle }$ jest ciągły, a zatem ograniczony (z charakteryzacji ograniczonych operatorów liniowych). Z nierówności Cauchy’ego-Schwarza wynika wtedy, że

${\displaystyle {\big \|}y^{*}(x){\big \|}={\big \|}\langle x,y\rangle {\big \|}\leqslant \|x\|\|y\|,}$

a więc

${\displaystyle {\big \|}y^{*}{\big \|}=\sup _{\|x\|=1}\;{\big \|}y^{*}(x){\big \|}\leqslant \|y\|.}$

Jeżeli ${\displaystyle y=0,}$ to ${\displaystyle \|y^{*}\|=0,}$ czyli ${\displaystyle y^{*}=\emptyset ;}$ w przeciwnym przypadku dla ${\displaystyle z={\frac {y}{\|y\|}}}$ otrzymuje się

${\displaystyle {\big \|}y^{*}(z){\big \|}={\Big \|}\left\langle {\tfrac {y}{\|y\|}},y\right\rangle {\Big \|}={\frac {1}{\|y\|}}\langle y,y\rangle ={\frac {\|y\|^{2}}{\|y\|}}=\|y\|,}$

co daje ${\displaystyle \|y^{*}\|=\|y\|.}$

Antyliniowość

Antyliniowość odwzorowania ${\displaystyle (\cdot )^{*}\colon H\to H^{*}}$ wynika wprost z własności iloczynu skalarnego, który jest antyliniowy ze względu na drugą współrzędną:

${\displaystyle (cy_{1}+dy_{2})^{*}(x)=\langle x,cy_{1}+dy_{2}\rangle ={\overline {c}}\langle x,y_{1}\rangle +{\overline {d}}\langle x,y_{2}\rangle ={\overline {c}}\ y_{1}^{*}(x)+{\overline {d}}\ y_{2}^{*}(x).}$

Jeżeli ${\displaystyle H}$ jest rzeczywista, to iloczyn skalarny jest dwuliniowy, a nie półtoraliniowy; w tym przypadku wystarczy w powyższych równościach pominąć sprzężenie zespolone (oznaczane kreską nad elementem).

Zobacz też

• twierdzenie o rzucie ortogonalnym

Przypisy