Twierdzenie Sikorskiego

Twierdzenie Sikorskiego – twierdzenie teorii algebr Boole’a mówiące, każdy homomorfizm z podalgebry danej algebry Boole’a o wartościach w algebrze zupełnej można przedłużyć do homomorfizmu na całej algebrze. Innymi słowy:

Niech ${\displaystyle \mathbb {B} }$ będzie algebrą Boole’a oraz ${\displaystyle \mathbb {A} \subseteq \mathbb {B} }$ jej podalgebrą. Jeżeli ${\displaystyle \mathbb {C} }$ jest algebrą zupełną to dla każdego homomorfizmu ${\displaystyle h\colon \mathbb {A} \to \mathbb {C} }$ istnieje taki homomorfizm ${\displaystyle g\colon \mathbb {B} \to \mathbb {C} ,}$ że ${\displaystyle g\upharpoonright \mathbb {A} =h.}$

Idea dowodu

Oczywiście odwzorowanie tożsamościowe ${\displaystyle i\colon \mathbb {A} \to \mathbb {B} }$ jest homomorfizmem. Z twierdzenia Stone’a wynika, że istnieją takie izomorfizmy ${\displaystyle s_{\mathbb {A} }\colon \mathbb {A} \to {\mbox{CO(Ult)}}(\mathbb {A} ),}$ ${\displaystyle s_{\mathbb {B} }\colon \mathbb {B} \to {\mbox{CO(Ult)}}(\mathbb {B} )}$ i ${\displaystyle s_{\mathbb {C} }\colon \mathbb {C} \to {\mbox{CO(Ult)}}(\mathbb {C} ),}$ że

${\displaystyle s_{\mathbb {B} }\circ i={\overline {i^{*}}}\circ s_{\mathbb {A} }}$

oraz

${\displaystyle s_{\mathbb {C} }\circ h={\overline {i^{*}}}\circ s_{\mathbb {A} },}$

gdzie ${\displaystyle {\mbox{CO(Ult)}}(\mathbb {X} )}$ oznacza algebrę zbiorów regularnie otwartych przestrzeni Stone’a algebry ${\displaystyle \mathbb {X} .}$

Z twierdzenia Stone’a wynika ponadto, że ${\displaystyle {\overline {i^{*}}}}$ jest „na”, ponieważ ${\displaystyle i}$ jest różnowartościowe. Algebra ${\displaystyle \mathbb {C} }$ jest zupełna, a więc jej przestrzeń Stone’a jest ekstremalnie niespójna. Na mocy twierdzenia Gleasona istnieje taka funkcja ciągła ${\displaystyle f\colon {\rm {{Ult}(\mathbb {C} )\to {\rm {{Ult}(\mathbb {B} ),}}}}}$ że

${\displaystyle i^{*}\circ f=h^{*},}$

a więc

${\displaystyle {\overline {h^{*}}}={\overline {f}}\circ {\overline {i^{*}}}.}$

Funkcja

${\displaystyle g=s_{\mathbb {C} }^{-1}\circ {\overline {f}}\circ s_{\mathbb {B} }}$

jest szukanym homomorfizmem ponieważ ${\displaystyle h=g\circ i.}$

Bibliografia

• Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Wstęp do teorii mnogości. PWN, Warszawa, 2007, s. 351–352.