Twierdzenie Starka-Heegnera

Twierdzenie Starka-Heegnera (również Bakera-Heegnera-Starka) – twierdzenie z teorii liczb ściśle określające, które ciała kwadratowe pozwalają na jednoznaczny rozkład w ich pierścieniu liczb całkowitych. Rozwiązuje przypadek szczególny problemu Gaussa zwanego problemem liczby klas i związanego z wyznaczaniem liczby ciał kwadratowych urojonych, które mają ustaloną liczbę klas.

Sformułowanie

Niech Q oznacza zbiór liczb wymiernych oraz niech d będzie liczbą całkowitą bezkwadratową. Wtedy Q(√d) jest skończonym rozszerzeniem Q stopnia 2, zwanym rozszerzeniem kwadratowym. Liczba klas Q(√d) jest liczbą klas równoważności ideałów pierścienia całkowitego Q(√d), gdzie dwa ideały I i J są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją ideały główne (a) i (b), takie że (a)I = (b)J. Dlatego pierścień całkowity Q(√d) jest dziedziną ideału głównego (a więc pierścieniem z jednoznacznością rozkładu) wtedy i tylko wtedy, gdy liczba klas Q(√d) jest równa 1. Twierdzenie Starka-Heegnera może być sformułowane następująco:

Jeśli d < 0, wtedy liczba klas Q(√d) jest równa 1 wtedy i tylko wtedy, gdy:

${\displaystyle d\in \{\,-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163\,\}}$

Liczby te są określane mianem liczb Heegenera^[1].

Powyższa lista jest też zapisywana przy zastąpieniu −1 przez −4 i −2 przez −8 (co nie zmienia ciała)^[2]:

${\displaystyle D=-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163,}$

gdzie D jest interpretowane jako wyróżnik (ciała liczbowego, albo krzywej eliptycznej z mnożeniem zespolonym). Bardziej standardowe jest, gdy D są wtedy wyróżnikami fundamentalnymi.

Historia

Po raz pierwszy twierdzenie zostało zaproponowane przez Gaussa w sekcji 303 jego Disquisitiones Arithmeticae. Zasadniczo udowodnił je w 1952 Kurt Heegner^[3], ale jego dowód zawierał pewne niewielkie luki i dowód twierdzenia nie był akceptowany dopóki Harold Stark nie podał pełnego dowodu opublikowanego na początku 1967^[4], który miał wiele wspólnego z pracą Heegnera, ale zawierał na tyle wystarczająco dużo różnic, że Stark uważał te dowody za różne^[5]. Heegener zmarł „zanim ktokolwiek rzeczywiście zrozumiał, czego on dokonał”^[6]. Stark formalnie uzupełnił luki w dowodzie Heegenera w 1969 (inne współczesne rozprawy podawały rozmaite podobne dowody przez zastosowanie funkcji modularnych, ale Stark skupił się wprost na wypełnieniu luk Heegenera)^[7].

Alan Baker podał całkowicie odmienny dowód nieco wcześniej (pod koniec 1966)^[8][9] niż pojawiła się praca Starka (lub bardziej precyzyjnie Baker zredukował wynik do skończonej liczby obliczeń z pracy Starka w jego rozprawie z 1963/64 podającej już stosowne obliczenia) i zdobył medal Fieldsa za swoją metodę. Później Stark wskazał, że dowód Bakera, korzystający z liniowych postaci 3 logarytmów, można zredukować do tylko 2 logarytmów, co było znanym wynikiem od 1949 dzięki Gelfondowi i Linnikowi^[10].

Praca Starka z 1969^[7] cytuje również tekst z 1895 autorstwa Webera i zauważa, że gdyby Weber „tylko uczynił spostrzeżenie, że redukowalność [pewnego równania] może prowadzić do równania diofantycznego, to problem liczby klas równej jeden mógłby zostać rozwiązany 60 lat temu”. Bryan Birch zauważa, że książka Webera i właściwie cały temat funkcji modularnych, stracił zainteresowanie na pół wieku: „Niestety w 1952 nie pozostał nikt, kto był wystarczającym ekspertem w algebrze Webera, by docenić osiągnięcie Heegnera”^[11].

Max Deuring, Carl Ludwig i Sarvadaman Chowla podali niewiele różniące się odmiany dowodu przy użyciu funkcji modularnych w następnym roku po Starku^[12]. Inne wersje z tego gatunku pojawiły się w kolejnych latach. Na przykład w 1985 Monsuru Akangbe Kenku podał dowód używając kwartyki Kleina (choć również wykorzystuje funkcje modularne)^[13]. Ponownie w 1999 Imin Chen podał inny wariant dowodu poprzez funkcje modularne (według szkicu Siegela)^[14].

Praca Benedicta Grossa i Dona Zagiera (1986)^[15] w połączeniu z pracą Doriana Goldfelda (1976) również podaje alternatywny dowód^[6].

Przypadek nieurojony

Z drugiej strony nie wiadomo, czy jest nieskończenie wiele d > 0, dla których Q(√d) ma liczbę klas równą 1. Wyniki obliczeniowe wskazują, że może być wiele takich ciał.

Przypisy

Bibliografia

• Alan Baker. Linear forms in logarithms of algebraic numbers. I. „Mathematica. A Journal of Pure and Applied Mathematics”. 13 (2), s. 204–216, 1966. Londyn: University College London. DOI: 10.1112/S0025579300003971. ISSN 0025-5793. 
• Bryan Birch: Heegner Points: The Beginnings. W: Heegner Points and Rankin L-Series. Edytorzy Henri Darmon i Shou-Wu Zhang. T. 49. Cambridge, New York: Cambridge University Press, 2004, s. 1–10, seria: Mathematical Sciences Research Institute Publications. ISBN 0-521-83659-X. (ang.)
• Imin Chen. On Siegel’s Modular Curve of Level 5 and the Class Number One Problem. „Journal of Number Theory”. 74, s. 278–297, 1999. DOI: 10.1006/jnth.1998.2320 (ang.). 
• Sarvadaman Chowla. The Heegner-Stark-Baker-Deuring-Siegel Theorem. „Journal für die reine und angewandte Mathematik”. 241, s. 47–48, 1970. DOI: 10.1515/crll.1970.241.47. ISSN 0075-4102 (ang.). 
• John Horton Conway, Richard K. Guy: The Book of Numbers. Springer, 1996. ISBN 0-387-97993-X. (ang.)
• Henri Darmon: Preface to Heegner Points and Rankin L-Series. W: Heegner Points and Rankin L-Series. Edytorzy Henri Darmon i Shou-Wu Zhang. T. 49. 2004, s. ix–xiii, seria: Mathematical Sciences Research Institute Publications. ISBN 0-521-83659-X. (ang.)
• Noam D. Elkies: The Klein Quartic in Number Theory. W: The Eightfold Way: The Beauty of Klein’s Quartic Curve. Edytor Silvio Levy. T. 35. Cambridge University Press, 1999, s. 51–101, seria: Mathematical Sciences Research Institute Publications. ISBN 0-521-66066-1. (ang.)
• Dorian Goldfeld. Gauss’s class number problem for imaginary quadratic fields. „Bulletin of the American Mathematical Society”. 13, s. 23–37, 1985. DOI: 10.1090/S0273-0979-1985-15352-2 (ang.). 
• Benedict H. Gross, Don B. Zagier. Heegner points and derivatives of L-series. „Inventiones Mathematicae”. 84 (2), s. 225–320, 1986. DOI: 10.1007/BF01388809 (ang.). 
• Kurt Heegner. Diophantische Analysis und Modulfunktionen. „Mathematische Zeitschrift”. 56 (3), s. 227–253, 1952. DOI: 10.1007/BF01174749 (niem.). 
• Monsuru Akangbe Kenku. A note on the integral points of a modular curve of level 7. „Mathematika”. 32, s. 45–48, 1985. Londyn: University College London. DOI: 10.1112/S0025579300010846 (ang.). 
• Harold M. Stark. On the „gap” in the theorem of Heegner. „Journal of Number Theory”. 1, s. 16–27, 1969. DOI: 10.1016/0022-314X(69)90023-7 (ang.). 
• Harold M. Stark. A historical note on complex quadratic fields with class-number one. „The Proceedings of American Mathematical Society”. 21, s. 254–255, 1969. DOI: 10.1090/S0002-9939-1969-0237461-X (ang.). 
• Harold M. Stark: The Origin of the „Stark” conjectures. W: Arithmetic of L-functions. Edytorzy Cristian Popescu, Karl Rubin i Alice Silverberg. Providence: American Mathematical Society, 2011, seria: IAS/Park City mathematics series. ISBN 978-0-8218-5320-7. (ang.)