Twierdzenie Steinitza o wymianie

Twierdzenie Steinitza o wymianie – twierdzenie algebry liniowej mówiące, że dowolny układ wektorów liniowo niezależnych skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej można dopełnić do bazy tej przestrzeni wektorami wybranymi ze z góry zadanej bazy. Twierdzenie nazwane imieniem matematyka, Ernsta Steinitza.

Twierdzenie

Niech będzie bazą przestrzeni liniowej oraz niech będzie układem wektorów należących do który jest liniowo niezależny. Wówczas:

  1. Spośród wektorów można wybrać taki podzbiór złożony z wektorów, które wraz z wektorami tworzą bazę

Dowód

Ustalmy Dowód przebiega indukcyjnie ze względu na

Dla jest zbiorem pustym, więc wystarczy wziąć

Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich takich zbiorów że Pokażemy prawdziwość twierdzenia dla

Ustalmy zbiór będący liniowo niezależnym układem wektorów należących do V. Niech oraz Z założenia indukcyjnego wynika, że oraz istnieje taki zbiór że oraz Aby uprościć zapis, przyjmijmy, że

Wówczas

Ponieważ i więc

dla pewnych

Zauważmy, że istnieje takie że gdyż w przeciwnym razie mielibyśmy co przeczyłoby liniowej niezależności Bez straty ogólności, załóżmy, że

Wówczas

Stąd gdyż dla każdego istnieją takie że

a podstawiając pod z poprzedniej równości odpowiednią kombinację liniową otrzymujemy, że istnieją takie że

Wystarczy wziąć Wówczas

Zauważmy, że W przeciwnym razie, tj. gdyby zbiór byłby pusty, więc skąd co przeczyłoby liniowej niezależności Skoro < to

Media użyte na tej stronie