Twierdzenie Stolza

Twierdzenie Stolza (zwane też twierdzeniem Stolza-Cesàro) – twierdzenie mówiące o zbieżności pewnych ciągów rzeczywistych. Nazwane imionami matematyków Ottona Stolza i Ernesta Cesàro.

Twierdzenie

Niech będą ciągami liczb rzeczywistych, przy czym ciąg jest rosnący i rozbieżny do Jeśli istnieje skończona lub nieskończona granica

to

Twierdzenie to nie daje się odwrócić, tzn. z istnienia granicy nie wynika istnienie granicy

Lemat

Jeżeli    to jest kombinacją wypukłą liczb

Dowód

Teza Lematu wynika z tego, że oraz

Dowód twierdzenia

Przypadek I

Załóżmy, że ciąg jest zbieżny do pewnej liczby Niech Wówczas istnieje liczba taka, że

dla Ustalmy Na podstawie lematu dla i otrzymujemy, że

jest kombinacją wypukłą liczb dla Zatem

Stąd, oczywiście, otrzymujemy

dla Dalej mamy

Zatem z faktu, że otrzymujemy

Z uwagi na to, że znajdziemy liczbę taką, że dla Czyli

dla każdego co daje tezę.

Przypadek II

Załóżmy teraz, że ciąg ma granicę niewłaściwą. Wystarczy rozważyć przypadek, gdy Jeśli granica jest równa dowód przebiega analogicznie.

Zauważmy, że implikuje Pokażemy, że ciąg Wówczas na mocy udowodnionego Przypadku I otrzymamy, że To wobec założenia oznaczać będzie, że dla dostatecznie dużych a w konsekwencji

Z faktu wynika istnienie liczby takie, że

dla każdego Wówczas

dla

Dodając powyższe nierówności dla otrzymujemy

Stąd dla dowolnego prawdziwa jest nierówność:

Ponieważ to co kończy dowód.

Przykłady

Przykład 1. Używając twierdzenie Stolza łatwo pokazać następujące twierdzenie pochodzące od Cauchy’ego.

Twierdzenie Cauchy’ego o zbieżności ciągu średnich arytmetycznych. Jeśli ciąg jest zbieżny (do granicy skończonej lub nieskończonej), to ciąg średnich arytmetycznych pierwszych wyrazów jest zbieżny do tej samej granicy, symbolicznie

Powyższa równość granic ma związek z sumowalnością metodą Cesàro; dokładniej jeśli szereg jest zbieżny, to jest także sumowalny metodą Cesàro i obie te wartości są równe. Pokazuje to, że sumowalność metodą Cesàro jest uogólnieniem sumowalności metodą klasyczną.

Dowód twierdzenia Cauchy’ego. Zdefiniujmy i Zauważmy, że oraz Zatem więc na mocy twierdzenia Stolza otrzymujemy, że

Przykład 2. Implikacja w twierdzeniu Stolza nie daje się odwrócić. Aby to pokazać, rozważmy przykład. Niech i dla Wówczas oraz Zatem Z drugiej strony

i

To pokazuje, że ciąg nie jest zbieżny.

Przykład 3. Ustalmy Niech Rozważmy ciąg:

Zauważmy, że oraz

Aby obliczyć granicę ciągu skorzystamy z twierdzenia Stolza. Obliczamy:

Wobec tego

Zobacz też

Bibliografia