Twierdzenie Sylowa

Twierdzenia Sylowa – twierdzenia teorii grup autorstwa Petera Sylowa^[1], czasem formułowane jako jedno twierdzenie Sylowa. Wynik ten jest częściowym odwróceniem twierdzenia Lagrange’a (rząd podgrupy jest dzielnikiem rzędu danej grupy), a zarazem uogólnieniem twierdzenia Cauchy’ego (o istnieniu podgrupy rzędu będącego liczbą pierwszą dzielącym rząd danej grupy).

Twierdzenia

Niech ${\displaystyle p}$ będzie liczbą pierwszą, która ponadto jest względnie pierwsza z liczbą naturalną ${\displaystyle r}$ (tzn. największy wspólny dzielnik ${\displaystyle \mathrm {nwd} (p,r)=1}$). Niech ${\displaystyle G}$ będzie grupą rzędu ${\displaystyle |G|=p^{k}r,}$ gdzie ${\displaystyle k}$ jest pewną nieujemną liczbą całkowitą; dowolną jej podgrupę rzędu ${\displaystyle p^{i},}$ gdzie ${\displaystyle i=1,\dots ,k}$ nazywa się ${\displaystyle p}$-podgrupą tej grupy, przy czym podgrupy rzędu ${\displaystyle p^{k}}$ nazywane są ${\displaystyle p}$-podgrupami Sylowa.

Pierwsze twierdzenie Sylowa

W grupie ${\displaystyle G}$ istnieje (co najmniej jedna) ${\displaystyle p}$-podgrupa Sylowa.

Drugie twierdzenie Sylowa

Wszystkie ${\displaystyle p}$-podgrupy Sylowa grupy ${\displaystyle G}$ są sprzężone, tzn. dla dowolnych ${\displaystyle p}$-podgrup Sylowa ${\displaystyle H,K}$ grupy ${\displaystyle G}$ istnieje taki automorfizm wewnętrzny ${\displaystyle \varphi _{g}}$ tej grupy (${\displaystyle \varphi _{g}(a)=gag^{-1}}$), że ${\displaystyle \varphi [H]=K.}$

Trzecie twierdzenie Sylowa

Liczba ${\displaystyle s_{p}}$ wszystkich ${\displaystyle p}$-podgrup Sylowa grupy ${\displaystyle G}$ przystaje do jedynki modulo ${\displaystyle p,}$ tzn. ${\displaystyle s_{p}\equiv 1{\bmod {p}}}$ (czyli ${\displaystyle p}$ jest dzielnikiem ${\displaystyle s_{p}-1,}$ tj. ${\displaystyle p|s_{p}-1}$).

Wnioski

Z twierdzenia Lagrange’a wynika, że ${\displaystyle p}$-podgrupa Sylowa jest jej maksymalną (w sensie zawierania) ${\displaystyle p}$-podgrupą, a jej indeks równy ${\displaystyle r}$ nie jest podzielny przez ${\displaystyle p,}$ innymi słowy ${\displaystyle s_{p}|r.}$ Z drugiego twierdzenia wynika, że warunek ${\displaystyle s_{p}=1}$ jest równoważny normalności (a nawet charakterystyczności) ${\displaystyle p}$-podgrupy Sylowa^[a]. Z pierwszego i drugiego twierdzenia Sylowa wynika, że jeżeli ${\displaystyle H}$ jest ${\displaystyle p}$-podgrupą Sylowa w ${\displaystyle G,}$ zaś ${\displaystyle K}$ jest ${\displaystyle p}$-podgrupą normalną w ${\displaystyle G,}$ to istnieje taki element ${\displaystyle g\in G,}$ dla którego ${\displaystyle K}$ jest podgrupą normalną w ${\displaystyle gHg^{-1}.}$

Jeżeli ${\displaystyle p}$ jest dzielnikiem rzędu ${\displaystyle |G|}$ grupy ${\displaystyle G,}$ to w grupie tej istnieje element rzędu ${\displaystyle p}$ (tzw. twierdzenie Cauchy’ego); ponadto ${\displaystyle s_{p}}$ dzieli wtedy ${\displaystyle |G|.}$ Jeżeli każdy element ${\displaystyle g\in G}$ ma rząd postaci ${\displaystyle p^{k},}$ to ${\displaystyle G}$ jest ${\displaystyle p}$-grupą. Jeśli ${\displaystyle p>q}$ oraz ${\displaystyle |G|=pq,}$ gdzie ${\displaystyle p,q}$ są pewnymi liczbami pierwszymi, to w ${\displaystyle G}$ istnieje podgrupa normalna rzędu ${\displaystyle p;}$ jeżeli ${\displaystyle q}$ nie dzieli ponadto ${\displaystyle p-1,}$ to grupa ${\displaystyle G}$ jest cykliczna. W szczególności jeśli ${\displaystyle q}$ nie dzieli ${\displaystyle p-1}$ oraz ${\displaystyle p}$ nie dzieli ${\displaystyle q-1,}$ to jedyną grupą rzędu ${\displaystyle pq}$ jest suma prosta grup cyklicznych o rzędach ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q.}$

Przykłady

Niech ${\displaystyle G}$ będzie grupą rzędu ${\displaystyle 33.}$ Z twierdzeń Sylowa wynika, że grupa ${\displaystyle G}$ zawiera ${\displaystyle 11}$-podgrupę ${\displaystyle H_{11}}$ rzędu ${\displaystyle 11}$ (przynajmniej jedną), a ponadto ${\displaystyle s_{11}|3}$ oraz ${\displaystyle 11|s_{11}-1,}$ skąd wynika, że ${\displaystyle s_{11}=1}$ i normalność ${\displaystyle H_{11}.}$ Podobnie ${\displaystyle s_{3}|11}$ oraz ${\displaystyle 3|s_{3}-1,}$ skąd ${\displaystyle 3}$-podgrupa Sylowa ${\displaystyle H_{3}}$ rzędu ${\displaystyle 3}$ grupy ${\displaystyle G}$ również jest normalna. Obie te podgrupy są cykliczne (a stąd przemienne), zaś ich suma prosta jest izomorficzna z ${\displaystyle G,}$ co oznacza, że również jest przemienna i jest jedyną (z dokładnością do izomorfizmu) grupą rzędu ${\displaystyle 33.}$ W podobny sposób można dokonać klasyfikacji grup rzędu ${\displaystyle 99}$^[2].

Rozumując w analogiczny sposób można dowieść, że jedynymi grupami rzędu ${\displaystyle 6}$ (z dokładnością do izomorfizmu) są grupa cykliczna ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$ oraz grupa symetryczna ${\displaystyle S_{3}.}$

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

• Jerzy Browkin: Teoria ciał. Warszawa: PWN, 1972, s. 31-33.
• Jerzy Browkin: Teoria reprezentacji grup skończonych. Warszawa: PWN, 2010, s. 14-15. ISBN 978-83-01-16051-7.
• Czesław Bagiński: Wstęp do teorii grup. Warszawa: Script, 2002, s. 89-96. ISBN 83-904564-9-4.
• Michaił Iwanowicz Kargapołow, Jurij Iwanowicz Mierzlakow: Podstawy teorii grup. Warszawa: PWN, 1989, s. 107-108. ISBN 83-01-08736-6.
• Jean-Pierre Serre: Reprezentacje liniowe grup skończonych. Warszawa: PWN, 1988, s. 88-89. ISBN 83-01-07908-8.

Dowody

• Giuseppina Casadio, Guido Zappa. History of the Sylow theorem and its proofs. „Bollettino di Storia delle Scienze Matematiche”. 10 (1), s. 29–75, 1990. ISSN 0392-4432. MR1096350 (wł.). 
• Rod Gow. Sylow's proof of Sylow's theorem. „Irish Mathematical Society Bulletin”, s. 55–63, 1994. ISSN 0791-5578. MR1313412. 
• Florian Kammüller, Lawrence C. Paulson. A formal proof of Sylow's theorem. An experiment in abstract algebra with Isabelle HOL. „Journal of Automated Reasoning”. 23 (3), s. 235–264, 1999. DOI: 10.1023/A:1006269330992. ISSN 0168-7433. MR1721912. 
• Michael Meo. The mathematical life of Cauchy's group theorem. „Historia Math.”. 31 (2), s. 196–221, 2004. DOI: 10.1016/S0315-0860(03)00003-X. ISSN 0315-0860. MR2055642. 
• Winfried Scharlau. Die Entdeckung der Sylow-Sätze. „Historia Math.”. 15 (1), s. 40–52, 1988. DOI: 10.1016/0315-0860(88)90048-1. ISSN 0315-0860. MR931678 (niem.). 
• William C. Waterhouse. The early proofs of Sylow's theorem. „Archive for History of Exact Sciences”. 21 (3), s. 279–290, 1980. DOI: 10.1007/BF00327877. ISSN 0003-9519. MR575718. 
• Helmut Wielandt. Ein Beweis für die Existenz der Sylowgruppen. „Archiv der Mathematik”. 10 (1), s. 401–402, 1959. DOI: 10.1007/BF01240818. ISSN 0003-9268. MR0147529 (niem.).