Twierdzenie Szarkowskiego

Twierdzenie Szarkowskiego – twierdzenie podane w 1964 r. przez ukraińskiego matematyka Aleksandra Mikołajewicza Szarkowskiego dotyczące występowania punktów okresowych dla ciągłych funkcji prostej rzeczywistej^[1]. Twierdzenie to jest również uogólnieniem twierdzenia Li-Yorke’a z 1975 r.

Porządek Szarkowskiego

Porządek Szarkowskiego to porządek w zbiorze liczb naturalnych ${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,\dots \},}$ oznaczany ${\displaystyle \triangleleft ,}$ w którym elementem najmniejszym jest liczba 1 a największym 3:

${\displaystyle {\begin{array}{l}3&\triangleright {}\ 5&\triangleright {}\ 7&\triangleright {}\ 9&\triangleright \ \ldots \\3\cdot {}2&\triangleright {}\ 5\cdot {}2&\triangleright {}\ 7\cdot {}2&\triangleright {}\ 9\cdot {}2&\triangleright \ \ldots \\3\cdot {}2^{2}&\triangleright {}\ 5\cdot {}2^{2}&\triangleright {}\ 7\cdot {}2^{2}&\triangleright {}\ 9\cdot {}2^{2}&\triangleright \ \ldots \\\ \vdots &\quad \vdots &\quad \vdots &\quad \vdots &\quad \vdots \\\ldots &\triangleright {}\ 2^{3}&\triangleright {}\ 2^{2}&\triangleright {}\ 2^{1}&\triangleright {}\ 1\\\end{array}}}$

Twierdzenie Szarkowskiego

Niech ${\displaystyle f\colon J\to \mathbb {R} }$ będzie funkcją ciągłą, a ${\displaystyle J\subseteq {}\mathbb {R} }$ to domknięty odcinek lub cała prosta ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ Jeśli ${\displaystyle f}$ ma punkt okresowy o okresie ${\displaystyle k}$ oraz ${\displaystyle k\triangleleft {}l}$ w porządku Szarkowskiego, to ${\displaystyle f}$ ma punkt okresowy o okresie ${\displaystyle l.}$

Idea dowodu

Zawiły dowód podany przez Szarkowskiego w 1964 roku był wielokrotnie upraszczany. Nowoczesny dowód używa niżej zdefiniowanego pojęcia A-grafu.

A-graf

Powiemy, że przedział ${\displaystyle I}$ nakrywa przedział ${\displaystyle J}$ przy funkcji ${\displaystyle f,}$ gdy ${\displaystyle f(I)\supseteq {}J.}$ Niech ${\displaystyle x}$ będzie punktem okresowym o okresie ${\displaystyle n>1}$ i orbicie ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}}$ uporządkowanej następująco: ${\displaystyle x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n}.}$ Oznaczmy przedziały ${\displaystyle I_{k}=[x_{k},x_{k+1}]}$ dla ${\displaystyle k=1..{n-1}.}$ Graf o wierzchołkach ${\displaystyle I_{1},I_{2},\dots ,I_{n-1}}$ nazywamy A-grafem. Krawędź ${\displaystyle I_{j}\to {}I_{k}}$ występuje w A-Grafie, gdy przedział ${\displaystyle I_{j}}$ nakrywa ${\displaystyle I_{k}.}$

Tworzenie orbit za pomocą A-grafu

Niech ${\displaystyle J_{1}\to J_{2}\to \ldots \to J_{n}\to J_{1}}$ będzie cyklem w A-grafie. Jeśli nie jest to cykl, który jest prostym złożeniem innych cykli, to istnieje podprzedział ${\displaystyle K\subseteq J_{1}}$ taki, że ${\displaystyle f^{s}(K)\subseteq J_{k}}$ dla ${\displaystyle s=1,2\dots ,n-1}$ oraz ${\displaystyle f^{n}(K)\neq J_{1}.}$

Szkic dowodu

Mając dany punkt okresowy ${\displaystyle x_{1}}$ i jego orbitę ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},}$ tworzymy dla niego ${\displaystyle (n-1)}$-wierzchołkowy A-graf. Aby pokazać istnienie punktu okresowego o okresie ${\displaystyle k,}$ znajdujemy nietrywialny cykl długości ${\displaystyle k.}$

Uogólnienie na wyższe wymiary

Twierdzenie Szarkowskiego nie zachodzi w wymiarach wyższych niż 1. Kontrprzykład: niech ${\displaystyle T\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ będzie obrotem o kąt ${\displaystyle 90^{\circ }}$ wokół punktu ${\displaystyle (0,0).}$ Przekształcenie ${\displaystyle T}$ ma dokładnie jeden punkt stały ${\displaystyle (0,0),}$ a wszystkie pozostałe punkty są okresowe o okresie ${\displaystyle 4.}$

Przypisy

Bibliografia

• L.S. Block, W.A. Coppel, Dynamics in One Dimension, Lecture Notes in Mathematics, tom 1513, 1992, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg. Zawiera nietrudny dowód twierdzenia Szarkowskiego bazujący na A-Grafach.
• O ustawianiu liczb naturalnych, czyli twierdzenie Szarkowskiego. W: Krzysztof Ciesielski, Zdzisław Pogoda: Diamenty matematyki. Warszawa: Prószyński i S-ka, 1997. ISBN 83-7180-145-9.