Twierdzenie Tajmanowa

Twierdzenie Tajmanowa – twierdzenie w topologii ogólnej, podające charakteryzację możliwości przedłużania odwzorowań ciągłych z gęstych podprzestrzeni przestrzeni zwartych na całą przestrzeń. Twierdzenie zostało po raz pierwszy udowodnione przez rosyjskiego matematyka Asana Tajmanowa.

Twierdzenie

Załóżmy, że

• ${\displaystyle Y}$ jest przestrzenią zwartą,
• ${\displaystyle X\subseteq Y}$ jest jej gęstą podprzestrzenią, tzn. ${\displaystyle {\mbox{cl}}X=Y,}$
• ${\displaystyle Z}$ jest przestrzenią zwartą,
• funkcja ${\displaystyle f\colon X\to Z}$ jest ciągła.

Wówczas istnieje funkcja ciągła ${\displaystyle {\overline {f}}\colon Y\to Z}$ taka, że ${\displaystyle {\overline {f}}(x)=f(x)}$ dla ${\displaystyle x\in X}$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych dwóch zbiorów otwartych ${\displaystyle U,V\subseteq Z}$ takich, że

${\displaystyle {\mbox{cl}}U\cap {\mbox{cl}}V=\varnothing }$

spełniony jest warunek

${\displaystyle {\mbox{cl}}_{X}f^{-1}[U]\cap {\mbox{cl}}_{X}f^{-1}[V]=\varnothing .}$

Wnioski

• Jeśli ${\displaystyle \kappa }$ jest nieskończoną liczbą kardynalną oraz domknięty i nigdziegęsty podzbiór ${\displaystyle F}$ kostki Cantora ${\displaystyle \{0,1\}^{\kappa }}$ nie zawiera zbiorów typu G_δ, to ${\displaystyle \beta (\{0,1\}^{\kappa }\setminus F)=\{0,1\}^{\kappa }.}$ (zob. uzwarcenie Čecha-Stone’a).
• Przestrzeń ${\displaystyle \beta \mathbb {N} }$ jest homeomorficzna z pewnym podziorem kostki Cantora wagi continuum.

Zobacz też

• lemat Urysohna

Bibliografia

• Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek. Teoria mnogości, PWN, Warszawa 2007.