Twierdzenie Vitalego o pokryciu

Twierdzenie Vitalego o pokryciu – noszące nazwisko Giuseppe Vitalego jedno z dwóch podstawowych twierdzeń o pokryciu (obok twierdzenia Besicovitcha) pomocne przy badaniu własności miary Lebesgue’a na przestrzeniach euklidesowych; z geometrycznego punktu widzenia daje pokrycie kulami powiększonymi w stosunku do wyjściowych, dzięki czemu jest z nich łatwiejsze w zrozumieniu i zastosowaniu.

Twierdzenie umożliwia mierzenie i teoretyczne „wypełnienie” dowolnego zbioru otwartego przeliczalnie wieloma rozłącznymi kulami domkniętymi o ograniczonym promieniu (z wykorzystaniem miary Lebesgue’a, twierdzenie Besicovitcha umożliwia podobną operację dla ogólniejszych miar Radona); jest także pomocne jako środek dowodowy dla nierówności dla operatora Hardy’ego-Littlewooda.

Sformułowanie „(pod)rodzina kul rozłącznych” oznacza, że rozłączne są dowolne dwie kule w danej (pod)rodzinie; innymi słowy rozpatrywane kule są zbiorami parami rozłącznymi.

Twierdzenie

Na górze: rodzina kul; zielone kule tworzą rozłączną podrodzinę.
Na dole: podrodzina kul o trzykrotnie większych promieniach pokrywa wszystkie kule.

Niech oznacza kulę domkniętą w zaś oznacza współśrodkową kulę domkniętą o promieniu pięciokrotnie większym od promienia Rodzinę kul domkniętych w nazywa się pokryciem zbioru jeżeli

Teza

Niech oznacza dowolną rodzinę niezdegenerowanych kul domkniętych w przy czym

Wówczas istnieje rodzina przeliczalna rozłącznych kul w dla której

Dowód

Oznaczenia
Niech Ponadto
Zbiór będzie określony indukcyjnie jak następuje:
  • niech będzie maksymalną rodziną rozłączną kul w
  • zakładając, że są już wskazane, rodzina będzie dana jako dowolna maksymalna podrodzina rozłączna
Wreszcie
przy czym jest ona rodziną kul rozłącznych oraz

Przy podanych definicjach wystarczy wykazać następujące

Stwierdzenie
Dla każdej kuli istnieje kula dla której oraz
Dowód
Niech będzie ustalony. Istnieje wtedy wskaźnik dla którego Z maksymalności istnieje kula dla której Jednakże oraz stąd zaś Zatem
Uwagi
  • Stała w definicji nie jest optymalna. Jeśli przy definiowaniu zamiast użyto by dla to wartość można by zastąpić przez Każda stała ściśle większa od daje poprawne sformułowanie twierdzenia.
  • W najogólniejszym przypadku przestrzeni metrycznych wybór maksymalnej podrodziny rozłącznej wymaga lematu Kuratowskiego-Zorna.
  • Nie istnieje systematyczny sposób kontrolowania za pomocą w przypadku, gdy jest ogólną miarą Radona na Przez to twierdzenie Vitalego o pokryciu nie jest aż tak pomocne przy badaniu tego rodzaju miar; twierdzenie Besicovitcha jest twierdzeniem o pokryciu, które nie wymaga powiększania kul za cenę ich rozłączności (przy zachowaniu kontroli nad stopniem ich nakładania).
  • Założenie o ograniczeniu średnicy (promienia) kuli jest niezbędne: w przypadku rodziny wszystkich kul o środku w początku dowolna rozłączna podrodzina składa się wyłącznie z jednej kuli jednakże nie zawiera wszystkich kul tej rodziny.

Literatura

Media użyte na tej stronie

Vitali covering lemma.svg
Autor: Claudio Rocchini, Licencja: CC BY-SA 3.0
Vitali Covering Lemma Example