Twierdzenie Vitalego o pokryciu

Twierdzenie Vitalego o pokryciu – noszące nazwisko Giuseppe Vitalego jedno z dwóch podstawowych twierdzeń o pokryciu (obok twierdzenia Besicovitcha) pomocne przy badaniu własności miary Lebesgue’a na przestrzeniach euklidesowych; z geometrycznego punktu widzenia daje pokrycie kulami powiększonymi w stosunku do wyjściowych, dzięki czemu jest z nich łatwiejsze w zrozumieniu i zastosowaniu.

Twierdzenie umożliwia mierzenie i teoretyczne „wypełnienie” dowolnego zbioru otwartego przeliczalnie wieloma rozłącznymi kulami domkniętymi o ograniczonym promieniu (z wykorzystaniem miary Lebesgue’a, twierdzenie Besicovitcha umożliwia podobną operację dla ogólniejszych miar Radona); jest także pomocne jako środek dowodowy dla nierówności dla operatora Hardy’ego-Littlewooda.

Sformułowanie „(pod)rodzina kul rozłącznych” oznacza, że rozłączne są dowolne dwie kule w danej (pod)rodzinie; innymi słowy rozpatrywane kule są zbiorami parami rozłącznymi.

Twierdzenie

Na górze: rodzina kul; zielone kule tworzą rozłączną podrodzinę.
Na dole: podrodzina kul o trzykrotnie większych promieniach pokrywa wszystkie kule.

Niech ${\displaystyle B=B(x,r)}$ oznacza kulę domkniętą w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ zaś ${\displaystyle {\hat {B}}=B(x,5r)}$ oznacza współśrodkową kulę domkniętą o promieniu pięciokrotnie większym od promienia ${\displaystyle B.}$ Rodzinę ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ kul domkniętych w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ nazywa się pokryciem zbioru ${\displaystyle A\subseteq R^{n},}$ jeżeli

${\displaystyle A\subseteq \bigcup _{B\in {\mathcal {F}}}B.}$

Teza

Niech ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ oznacza dowolną rodzinę niezdegenerowanych kul domkniętych w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ przy czym

${\displaystyle \sup {\big \{}\operatorname {diam} B\colon B\in {\mathcal {F}}{\big \}}<+\infty .}$

Wówczas istnieje rodzina przeliczalna ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ rozłącznych kul w ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$ dla której

${\displaystyle \bigcup _{B\in {\mathcal {F}}}B\subseteq \bigcup _{B\in {\mathcal {G}}}{\hat {B}}.}$

Dowód

Oznaczenia

Niech ${\displaystyle D:=\sup {\big \{}\operatorname {diam} B\colon B\in {\mathcal {F}}{\big \}}.}$ Ponadto

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}:=\left\{B\in {\mathcal {F}}\colon {\tfrac {D}{2^{j}}}<\operatorname {diam} B\leqslant {\tfrac {D}{2^{j-1}}}\right\}\qquad (j=1,2,\dots ).}$

Zbiór ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{j}\subseteq {\mathcal {F}}_{j}}$ będzie określony indukcyjnie jak następuje:

• niech ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}}$ będzie maksymalną rodziną rozłączną kul w ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1};}$
• zakładając, że ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1},\dots ,{\mathcal {G}}_{k-1}}$ są już wskazane, rodzina ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{k}}$ będzie dana jako dowolna maksymalna podrodzina rozłączna

  ${\displaystyle \left\{B\in {\mathcal {F}}_{k}\colon B\cap B'=\varnothing \ \ {\text{dla wszystkich}}\ \ B'\in \textstyle \bigcup _{j=1}^{k-1}{\mathcal {G}}_{j}\right\}.}$

Wreszcie

${\displaystyle {\mathcal {G}}:=\textstyle \bigcup _{j=1}^{\infty }G_{j},}$

przy czym jest ona rodziną kul rozłącznych oraz ${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}.}$

Przy podanych definicjach wystarczy wykazać następujące

Stwierdzenie

Dla każdej kuli ${\displaystyle B\in {\mathcal {F}}}$ istnieje kula ${\displaystyle B'\in {\mathcal {F}},}$ dla której ${\displaystyle B\cap B'=\varnothing }$ oraz ${\displaystyle B\subseteq {\hat {B'}}.}$

Dowód

Niech ${\displaystyle B\in {\mathcal {F}}}$ będzie ustalony. Istnieje wtedy wskaźnik ${\displaystyle j,}$ dla którego ${\displaystyle B\in {\mathcal {F}}_{j}.}$ Z maksymalności ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{j}}$ istnieje kula ${\displaystyle B'\in \textstyle \bigcup _{k=1}^{j}{\mathcal {G}}_{k},}$ dla której ${\displaystyle B\cap B'=\varnothing .}$ Jednakże ${\displaystyle \operatorname {diam} B'\geqslant {\tfrac {D}{2^{j}}}}$ oraz ${\displaystyle \operatorname {diam} B\leqslant {\tfrac {D}{2^{j-1}}};}$ stąd zaś ${\displaystyle \operatorname {diam} B\leqslant 2\operatorname {diam} B'.}$ Zatem ${\displaystyle B\subseteq {\hat {B'}}.}$

Uwagi

• Stała ${\displaystyle 5}$ w definicji ${\displaystyle {\hat {B}}}$ nie jest optymalna. Jeśli przy definiowaniu ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ zamiast ${\displaystyle 2^{-j}}$ użyto by ${\displaystyle c^{-j},}$ dla ${\displaystyle c>1,}$ to wartość ${\displaystyle 5}$ można by zastąpić przez ${\displaystyle 1+2c.}$ Każda stała ściśle większa od ${\displaystyle 3}$ daje poprawne sformułowanie twierdzenia.
• W najogólniejszym przypadku przestrzeni metrycznych wybór maksymalnej podrodziny rozłącznej wymaga lematu Kuratowskiego-Zorna.
• Nie istnieje systematyczny sposób kontrolowania ${\displaystyle \mu ({\hat {B}})}$ za pomocą ${\displaystyle \mu (B)}$ w przypadku, gdy ${\displaystyle \mu }$ jest ogólną miarą Radona na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ Przez to twierdzenie Vitalego o pokryciu nie jest aż tak pomocne przy badaniu tego rodzaju miar; twierdzenie Besicovitcha jest twierdzeniem o pokryciu, które nie wymaga powiększania kul za cenę ich rozłączności (przy zachowaniu kontroli nad stopniem ich nakładania).
• Założenie o ograniczeniu średnicy (promienia) kuli jest niezbędne: w przypadku rodziny wszystkich kul o środku w początku ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ dowolna rozłączna podrodzina składa się wyłącznie z jednej kuli ${\displaystyle B,}$ jednakże ${\displaystyle {\hat {B}}}$ nie zawiera wszystkich kul tej rodziny.

Literatura

• Giuseppe Vitali. Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali. „Atti dell’Accademia delle Scienze di Torino”. 43, s. 75–92, 1908 (wł.).  („O grupach punktów i o funkcjach zmiennych rzeczywistych”, zawiera pierwszy dowód twierdzenia Vitalego o pokryciu).