Twierdzenie Vitalego o zbieżności

Twierdzenie Vitalego o zbieżności – twierdzenie teorii miary oraz analizy matematycznej stwierdzające możliwość dokonania przejścia granicznego pod znakiem całki. Jest uogólnieniem dobrze znanego twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej. Założenia twierdzenia są wyrażone z użyciem teorii miary oraz pojęcia jednakowej całkowalności ciągu funkcyjnego.

Twierdzenie

Niech będzie przestrzenią z miarą. Przypuśćmy, że będzie ciągiem funkcyjnym w przestrzeni Lebesgue’a oraz niech gdzie Wówczas według -tej średniej (tj. w ) wtedy i tylko wtedy, gdy

  • (i) zbiega według miary do
  • (ii) rodzina funkcji jest jednakowo całkowalna,
    tzn. dla dowolnej liczby istnieje taka że dla wszystkich zbiorów mierzalnych takich, że zachodzi dla wszystkich
  • (iii) rodzina funkcji jest ciasna,
    tzn. dla dowolnej liczby istnieje zbiór mierzalny taki, że oraz dla wszystkich

Uwaga. Jeśli miara jest skończona to warunek (iii) wynika z (i) oraz (ii)[1].

Uwaga. Jeśli istnieje taka funkcja że to rodzina jest jednakowo całkowalna i ciasna.

Uwaga. Zamiast (i) można zakładać, że zbiega punktowo do

Zobacz też

Przypisy

  1. G.B. Folland, Real analysis. Modern techniques and their applications, wyd. 2nd ed, New York: Wiley, 1999, ISBN 0-471-31716-0, OCLC 39849337.