Twierdzenie Vitalego o zbieżności

Twierdzenie Vitalego o zbieżności – twierdzenie teorii miary oraz analizy matematycznej stwierdzające możliwość dokonania przejścia granicznego pod znakiem całki. Jest uogólnieniem dobrze znanego twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej. Założenia twierdzenia są wyrażone z użyciem teorii miary oraz pojęcia jednakowej całkowalności ciągu funkcyjnego.

Twierdzenie

Niech ${\displaystyle (X,{\mathfrak {m}},\mu )}$ będzie przestrzenią z miarą. Przypuśćmy, że ${\displaystyle (f_{n})_{n}\subset L^{p}(X,{\mathfrak {m}},\mu )}$ będzie ciągiem funkcyjnym w przestrzeni Lebesgue’a ${\displaystyle L^{p}(X,{\mathfrak {m}},\mu )}$ oraz niech ${\displaystyle f\in L^{p}(X,{\mathfrak {m}},\mu ),}$ gdzie ${\displaystyle 1\leqslant p<+\infty .}$ Wówczas ${\displaystyle f_{n}\to f}$ według ${\displaystyle p}$-tej średniej (tj. w ${\displaystyle L^{p}(X,{\mathfrak {m}},\mu )}$) wtedy i tylko wtedy, gdy

• (i) ${\displaystyle f_{n}}$ zbiega według miary do ${\displaystyle f;}$
• (ii) rodzina funkcji ${\displaystyle \{|f_{n}|^{p}\}}$ jest jednakowo całkowalna,

  tzn. dla dowolnej liczby ${\displaystyle \varepsilon >0}$ istnieje taka ${\displaystyle \delta >0,}$ że dla wszystkich zbiorów mierzalnych ${\displaystyle E\subseteq X}$ takich, że ${\displaystyle \mu (E)<\delta }$ zachodzi ${\displaystyle \int _{E}|f_{n}(x)|^{p}\,d\mu (x)<\varepsilon }$ dla wszystkich ${\displaystyle n;}$

• (iii) rodzina funkcji ${\displaystyle \{|f_{n}|^{p}\}}$ jest ciasna,

  tzn. dla dowolnej liczby ${\displaystyle \varepsilon >0}$ istnieje zbiór mierzalny ${\displaystyle E\subseteq X}$ taki, że ${\displaystyle \mu (E)<+\infty }$ oraz ${\displaystyle \int _{X\setminus E}|f_{n}(x)|^{p}\,d\mu (x)<\varepsilon }$ dla wszystkich ${\displaystyle n.}$

Uwaga. Jeśli miara jest skończona ${\displaystyle (\mu (X)<+\infty ),}$ to warunek (iii) wynika z (i) oraz (ii)^[1].

Uwaga. Jeśli istnieje taka funkcja ${\displaystyle g\in L^{p}(X,{\mathfrak {m}},\mu ),}$ że ${\displaystyle |f_{n}|\leqslant g,}$ to rodzina ${\displaystyle \{|f_{n}|^{p}\}}$ jest jednakowo całkowalna i ciasna.

Uwaga. Zamiast (i) można zakładać, że ${\displaystyle f_{n}}$ zbiega punktowo do ${\displaystyle f.}$

Zobacz też

• twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej
• lemat Fatou

Przypisy