Twierdzenie o ciągach jednomonotonicznych

Twierdzenie o ciągach jednomonotonicznych – jedna z podstawowych nierówności w matematyce. Można za jej pomocą dowieść wielu innych nierówności, takich jak nierówności między średnimi, nierówność Cauchy’ego-Schwarza, nierówność Czebyszewa.

Twierdzenie

Niech ciągi ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$ oraz ${\displaystyle (b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})}$ liczb rzeczywistych będą jednomonotoniczne, tzn. takie, że zachodzą nierówności:

${\displaystyle a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant \ldots \geqslant a_{n}}$ i ${\displaystyle b_{1}\geqslant b_{2}\geqslant \ldots \geqslant b_{n}}$

lub

${\displaystyle a_{1}\leqslant a_{2}\leqslant \ldots \leqslant a_{n}}$ i ${\displaystyle b_{1}\leqslant b_{2}\leqslant \ldots \leqslant b_{n}.}$

Wówczas prawdziwe są nierówności:

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots +a_{n}b_{n}\\[1ex]\geqslant {}&a_{1}b'_{1}+a_{2}b'_{2}+\ldots +a_{n}b'_{n}\\[1ex]\geqslant {}&a_{1}b_{n}+a_{2}b_{n-1}+\ldots +a_{n}b_{1}\end{aligned}}}$

gdzie ${\displaystyle (b'_{1},b'_{2},b'_{3},b'_{4},\dots ,b'_{n})}$ jest dowolną permutacją ciągu ${\displaystyle (b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},\dots ,b_{n}).}$

Twierdzenie to jest prawdziwe również dla więcej niż dwóch ciągów, tak długo, jak są one tej samej monotoniczności.

Dowód

W pierwszej kolejności sformułujmy tezę poprawniej.

Twierdzenie

Niech ${\displaystyle (a)_{s\leqslant n},}$ ${\displaystyle (b)_{s\leqslant n}}$ będą ciągami o zgodnej monotoniczności długości ${\displaystyle n}$ i niech ${\displaystyle \pi }$ będzie permutacją na zbiorze ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}.}$ Wówczas

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{s=1}^{n}a_{s}\cdot b_{s}\\\geqslant {}&\sum _{s=1}^{n}a_{s}\cdot b_{\pi (s)}\\\geqslant {}&\sum _{s=1}^{n}a_{s}\cdot b_{n-s+1}\end{aligned}}}$

Skupimy się na pierwszej z nierówności, gdyż druga już z niej wynika dość łatwo. Dowód będzie indukcyjny

Oczywiście dla ciągów o długości jeden teza jest oczywista.

Załóżmy zatem, że dowodzona nierówność zachodzi dla ciągów długości ${\displaystyle n}$ i niech ${\displaystyle (a)_{s\leqslant n+1},}$ ${\displaystyle (b)_{s\leqslant n+1}}$ będą ciągami o zgodnej monotoniczności długości ${\displaystyle n+1.}$ Niech ponadto ${\displaystyle \pi }$ będzie permutacją zbioru ${\displaystyle \{1,\dots ,n+1\}.}$ Jeśli ${\displaystyle \pi (n+1)=n+1,}$ to ${\displaystyle \pi ^{\star }=\pi |_{\{1,\dots ,n\}}}$ jest permutacją zbioru ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$ i wówczas

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{s=1}^{n+1}a_{s}\cdot b_{s}&=a_{n+1}\cdot b_{n+1}+\sum _{s=1}^{n}a_{s}\cdot b_{s}\\&\geqslant a_{n+1}\cdot b_{n+1}+\sum _{s=1}^{n}a_{s}\cdot b_{\pi ^{\star }(s)}\\&=a_{n+1}\cdot b_{\pi (n+1)}+\sum _{s=1}^{n}a_{s}\cdot b_{\pi (s)}\\&=\sum _{s=1}^{n+1}a_{s}\cdot b_{\pi (s)}\end{aligned}}}$

Załóżmy zatem, że ${\displaystyle i=\pi ^{-1}(n+1),\,j=\pi (n+1)\neq n+1}$ i niech dla ${\displaystyle s\in \{1,\dots ,n\}}$

${\displaystyle \pi ^{\star }(s)={\begin{cases}j&s=i\\\pi (s)&s\neq i\end{cases}}}$

Oczywiście ${\displaystyle \pi ^{\star }}$ jest permutacją na zbiorze ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}.}$

Ponadto mamy

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{s=1}^{n+1}a_{s}b_{s}&=a_{n+1}b_{n+1}+\sum _{s=1}^{n}a_{s}b_{s}\\&\geqslant a_{n+1}b_{n+1}+\sum _{s=1}^{n}a_{s}b_{\pi ^{\star }(s)}\end{aligned}}}$

oraz

${\displaystyle {\begin{aligned}&(a_{n+1}b_{n+1}+\sum _{s=1}^{n}a_{s}b_{{\pi }^{\star }(s)})-\sum _{s=1}^{n+1}a_{s}b_{\pi (s)}\\={}&(a_{n+1}b_{n+1}+\sum _{s=1}^{n}a_{s}b_{\pi ^{\star }(s)})-(a_{n+1}b_{\pi (n+1)}+\sum _{s=1}^{n}a_{s}b_{\pi (s)})\\={}&a_{n+1}\cdot (b_{n+1}-b_{\pi (n+1)})+\sum _{s=1}^{n}a_{s}\cdot (b_{\pi ^{\star }(s)}-b_{\pi (s)})\\={}&a_{n+1}\cdot (b_{n+1}-b_{j})+\sum _{s=1}^{n}a_{s}\cdot (b_{\pi ^{\star }(s)}-b_{\pi (s)})\\={}&a_{n+1}\cdot (b_{n+1}-b_{j})+a_{i}\cdot (b_{\pi ^{\star }(i)}-b_{\pi (i)})+\sum _{s=1,s\neq i}^{n}a_{s}\cdot \overbrace {(b_{\pi ^{\star }(s)}-b_{\pi (s)})} ^{=\,0}\\={}&a_{n+1}\cdot (b_{n+1}-b_{j})+a_{i}\cdot (b_{j}-b_{n+1})\\={}&(a_{i}-a_{n+1})\cdot (b_{j}-b_{n+1})\\[1ex]\geqslant {}&0\end{aligned}}}$

skąd natychmiast

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{s=1}^{n+1}a_{s}b_{s}&=a_{n+1}b_{n+1}+\sum _{s=1}^{n}a_{s}b_{s}\\&\geqslant a_{n+1}b_{n+1}+\sum _{s=1}^{n}a_{s}b_{\pi ^{\star }(s)}\\&\geqslant \sum _{s=1}^{n+1}a_{s}b_{\pi (s)}\end{aligned}}}$

co należało dowieść.

Druga nierówność wynika z zastosowania pierwszej do ciągu ${\displaystyle a^{\star }=(-a_{n-s+1})_{s\leqslant n}.}$