Twierdzenie o przekształceniu liniowym zadanym na bazie

Twierdzenie o przekształceniu liniowym zadanym na bazie – twierdzenie algebry liniowej mówiące o możliwości przedłużenia funkcji określonej na wektorach bazowych danej przestrzeni liniowej do przekształcenia liniowego określonego na całej przestrzeni. Dokładniej, jeżeli ${\displaystyle B}$ jest bazą przestrzeni liniowej ${\displaystyle V,}$ a ${\displaystyle W}$ jest dowolną przestrzenią liniową nad tym samym ciałem co ${\displaystyle V,}$ zaś ${\displaystyle \mathrm {f} \colon B\to W}$ jest dowolną funkcją, to istnieje takie przekształcenie liniowe ${\displaystyle \mathrm {T} \colon V\to W,}$ że ${\displaystyle \mathrm {T} (\mathbf {b} _{i})=\mathrm {f} (\mathbf {b} _{i})}$ dla każdego elementu ${\displaystyle \mathbf {b} _{i}}$ bazy ${\displaystyle B.}$

Przykład

Aksjomat wyboru jest równoważny istnieniu bazy dowolnej przestrzeni liniowej. Ciało liczb rzeczywistych jest rozszerzeniem ciała liczb wymiernych; w szczególności ${\displaystyle \mathbb {R} }$ jest przestrzenią liniową nad ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ której baza ${\displaystyle B}$ (nazywana czasem bazą Hamela) jest mocy continuum. Korzystając z twierdzenia o przekształceniu liniowym zadanym na bazie można udowodnić istnienie nieciągłego rozwiązania równania Cauchy’ego, tj. istnienie takiej funkcji ${\displaystyle f,}$ która spełniałaby równość ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$ dla wszystkich liczb rzeczywistych ${\displaystyle x,y.}$ Prosta rzeczywista jest ośrodkowa (ośrodkiem jest np. zbiór liczb wymiernych), skąd każda funkcja ciągła na ${\displaystyle \mathbb {R} }$ jest wyznaczona jednoznacznie przez swoje wartości na argumentach wymiernych. Oznacza to, że istnieje ${\displaystyle |\mathbb {R} |^{|\mathbb {Q} |}={\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}=\left(2^{\aleph _{0}}\right)^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}\cdot \aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}}$ funkcji ciągłych na ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ przy czym symbole ${\displaystyle \aleph _{0}}$ oraz ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ oznaczają odpowiednio pierwszą nieskończoną liczbę kardynalną oraz liczbę kardynalną continuum. Z drugiej strony istnieje ${\displaystyle |\mathbb {R} |^{|B|}={\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}}$ funkcji rzeczywistych, określonych na ${\displaystyle B.}$ Z twierdzenia Cantora wynika, że ${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}\geqslant 2^{\mathfrak {c}}>{\mathfrak {c}}}$ (słaba nierówność jest w istocie równością). Do przekształcenia liniowego (spełniającego równanie Cauchy’ego z definicji) można przedłużyć dowolną funkcję ${\displaystyle f\colon B\to \mathbb {R} .}$ Ponieważ jest ich więcej niż wszystkich funkcji ciągłych, to istnieją nieciągłe rozwiązania równania Cauchy’ego.

Bibliografia

• Joseph J. Rotman, Advanced Modern Algebra, Prentice Hall, 2003, ISBN 0-13-087868-5, s. 323.