Twierdzenie o przyrostach

Twierdzenie o przyrostach – uogólnienie twierdzenia Lagrange’a na funkcje o wartościach w przestrzeniach unormowanych.

Twierdzenie

Niech ${\displaystyle Y}$ będzie przestrzenią unormowaną oraz ${\displaystyle f\colon [a,b]\to Y}$ będzie funkcją ciągłą, różniczkowalną wewnątrz tego przedziału. Jeżeli istnieje taka nieujemna liczba ${\displaystyle M,}$ że

${\displaystyle \|df(x)\|\leqslant M}$ dla każdego ${\displaystyle x\in (a,b),}$

to

${\displaystyle \|f(b)-f(a)\|\leqslant M(b-a)}$

Można również sformułować twierdzenie analogiczne do twierdzenia Cauchy’ego. Dokładniej:

Niech ${\displaystyle Y}$ będzie przestrzenią unormowaną oraz ${\displaystyle f\colon [a,b]\to Y}$ oraz ${\displaystyle g\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ są ciągłe i różniczkowalne wewnątrz tego przedziału. Jeżeli

${\displaystyle \|df(x)\|\leqslant g'(x),}$

to

${\displaystyle \|f(b)-f(a)\|\leqslant g(b)-g(a).}$

Bibliografia

• Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.