Twierdzenie o rzędzie

Twierdzenie o rzędzie – twierdzenie algebry liniowej opisujące związek między obrazem a jądrem danego przekształcenia liniowego; bywa ono łączone z nazwiskiem Jamesa Josepha Sylvestera, ogólniejszą postacią tego prawidła jest tzw. twierdzenie o izomorfizmie, w ogólności: przekształcenie liniowe przestrzeni na jej obraz rozszczepia się.

Analogiczne twierdzenie zachodzi dla dowolnej macierzy ustalonego typu (jest ona macierzą przekształcenia liniowego między dwoma przestrzeniami liniowymi skończonych wymiarów z wybranymi bazami). W przypadku układów równań liniowych twierdzenie to opisuje postać rozwiązania ogólnego układu jednorodnego: zmienne układu można podzielić na zależne i niezależne (nie są one wyznaczone jednoznacznie, lecz liczba zmiennych danego rodzaju jest zachowana); przypadek niejednorodny opisuje twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Twierdzenie

Niech ${\displaystyle \mathrm {A} \colon V\to W}$ będzie przekształceniem liniowym określonym między ustalonymi przestrzeniami liniowymi ${\displaystyle V,W.}$ Wówczas zachodzi równość

${\displaystyle \dim \mathrm {dom\;A} =\dim \ker \mathrm {A} +\dim \mathrm {im\;A} ,}$

co oznacza się również

${\displaystyle \dim V=\mathrm {null\;A} +\mathrm {rank\;A} ,}$

gdzie ${\displaystyle \dim }$ oznacza wymiar przestrzeni (względem jej ciała skalarów), a ${\displaystyle \mathrm {dom} ,\ \ker ,\ \mathrm {im} }$ oznaczają odpowiednio dziedzinę, jądro i obraz przekształcenia liniowego, zaś ${\displaystyle \mathrm {null} ,\ \mathrm {rank} ,}$ nazywane zerowością i rzędem, symbolizują wymiary jądra i obrazu (są one podprzestrzeniami liniowymi). Innymi słowy: wymiar dziedziny jest sumą wymiarów jądra i obrazu (sumie zerowości i rzędu) tego przekształcenia.

Jeżeli ${\displaystyle \mathbf {A} }$ jest macierzą typu ${\displaystyle m\times n,}$ czyli o ${\displaystyle m}$ wierszach i ${\displaystyle n}$ kolumnach, to

${\displaystyle n=\mathrm {null} \;\mathbf {A} +\mathrm {rank} \;\mathbf {A} ,}$

gdzie ${\displaystyle \mathrm {null} }$ i ${\displaystyle \mathrm {rank} }$ oznaczają odpowiednio zerowość (wymiar jądra) oraz rząd (liczbę niezależnych liniowo kolumn) macierzy.

Dowód

Niech ${\displaystyle U}$ oznacza podprzestrzeń przestrzeni ${\displaystyle V}$ spełniającą ${\displaystyle V=\ker \mathrm {A} \oplus U,}$ a układ ${\displaystyle \mathbf {b} _{1},\dots ,\mathbf {b} _{k}}$ będzie bazą ${\displaystyle U}$ (tj. wraz z bazą ${\displaystyle \ker \mathrm {A} }$ tworzy ona bazę ${\displaystyle V}$). Wówczas układ ${\displaystyle \mathrm {A} (\mathbf {b} _{1}),\dots ,\mathrm {A} (\mathbf {b} _{k})}$ jest bazą ${\displaystyle \mathrm {im\;A} .}$

Generowanie

Niech ${\displaystyle \mathbf {w} \in \mathrm {im\;A} ,}$ wtedy ${\displaystyle \mathbf {w} =\mathrm {A} (\mathbf {v} )}$ dla pewnego ${\displaystyle \mathbf {v} ,}$ który z rozkładu na sumę prostą można jednoznacznie przedstawić w postaci ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {x} +\mathbf {y} ,}$ gdzie ${\displaystyle \mathbf {x} \in \ker \mathrm {A} }$ oraz ${\displaystyle \mathbf {y} \in U,}$ który można z kolei wyrazić w bazie tej podprzestrzeni jako ${\displaystyle \mathbf {y} =y_{1}\mathbf {b} _{1}+\dots +y_{k}\mathbf {b} _{k}}$ dla pewnych skalarów ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{k}.}$ Stąd

${\displaystyle \mathbf {w} =\mathrm {A} (\mathbf {v} )=\mathrm {A} (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\mathrm {A} (\mathbf {x} )+\mathrm {A} (\mathbf {y} )=\mathbf {0} +\mathrm {A} (y_{1}\mathbf {b} _{1}+\dots +y_{k}\mathbf {b} _{k})=y_{1}\mathrm {A} (\mathbf {b} _{1})+\dots +y_{k}\mathrm {A} (\mathbf {b} _{k}),}$

co wobec dowolności ${\displaystyle \mathbf {w} }$ oznacza, że układ ${\displaystyle \mathrm {A} (\mathbf {b} _{1}),\dots ,\mathrm {A} (\mathbf {b} _{k})}$ rozpina ${\displaystyle \mathrm {im\;A} .}$

Liniowa niezależność

Niech

${\displaystyle c_{1}\mathrm {A} (\mathbf {b} _{1})+\dots +c_{k}\mathrm {A} (\mathbf {b} _{k})=\mathbf {0} ,}$

wtedy ${\displaystyle \mathrm {A} (c_{1}\mathbf {b} _{1}+\dots +c_{k}\mathbf {b} _{k})=0,}$ czyli ${\displaystyle c_{1}\mathbf {b} _{1}+\dots +c_{k}\mathbf {b} _{k}}$ należy równocześnie do ${\displaystyle U}$ (jako kombinacja liniowa wektorów tej przestrzeni) oraz do ${\displaystyle \ker \mathrm {A} }$ (jako element odwzorowywany w tym przekształceniu w wektor zerowy). Ponieważ jedynym wektorem wspólnym dla tych przestrzeni jest wektor zerowy (z rozkładu na sumę prostą), to ${\displaystyle c_{1}\mathbf {b} _{1}+\dots +c_{k}\mathbf {b} _{k}=\mathbf {0} ,}$ czyli

${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{k}=0}$

(na mocy liniowej niezależności bazy ${\displaystyle \mathbf {b} _{1},\dots ,\mathbf {b} _{k}}$), co dowodzi liniowej niezależności ${\displaystyle \mathrm {A} (\mathbf {b} _{1}),\dots ,\mathrm {A} (\mathbf {b} _{k}).}$

Teza twierdzenia wynika wprost z obserwacji, iż ${\displaystyle \dim U=\dim \mathrm {im\;A} =\mathrm {rank\;A} }$ i własności wymiaru dla sumy prostej.

Przypadek nieskończeniewymiarowy

Dowód uogólnia się wprost na przestrzenie nieskończonego wymiaru: jeżeli ${\displaystyle \dim U=\infty ,}$ to układ ${\displaystyle \mathbf {b} _{1},\dots ,\mathbf {b} _{k}}$ wystarczy zastąpić dowolną bazą ${\displaystyle (\mathbf {b} _{i})_{i\in I}}$ przestrzeni ${\displaystyle U;}$ jeśli ${\displaystyle \dim V=\infty ,}$ to twierdzenie to mówi, że przestrzenie ${\displaystyle \ker \mathrm {A} }$ oraz ${\displaystyle \mathrm {im\;A} }$ nie mogą mieć jednocześnie skończonego wymiaru.

Wnioski

Z twierdzenia tego można wyprowadzić szereg obserwacji:

• izomorfizm liniowy ${\displaystyle V\to W}$ przeprowadza dowolną bazę ${\displaystyle V}$ na bazę ${\displaystyle W,}$ gdyż wtedy ${\displaystyle \dim V=\dim \ker \mathrm {A} +\dim \mathrm {im\;A} =\dim\{\mathbf {0} \}+\dim W=\dim W;}$
• ponieważ z równości wymiarów dziedziny i przeciwdziedziny przekształcenia liniowego wynika, iż jest ono izomorfizmem liniowym, to w połączeniu z powyższym faktem przestrzenie liniowe są izomorficzne, tj. mają identyczną strukturę liniową, gdy są równego wymiaru (wymiar jest niezmiennikiem przestrzeni liniowych);
• jeśli dla przekształcenia liniowego ${\displaystyle \mathrm {A} \colon V\to W}$ jest ${\displaystyle \dim V=\dim W<\infty ,}$ to jest ono monomorfizmem oraz epimorfizmem, a przez to izomorfizmem; na mocy założenia i z twierdzenia o rzędzie wynika następujący ciąg równoważności:

  ${\displaystyle \ker \mathrm {A} =\{\mathbf {0} \}\Leftrightarrow \mathrm {null\;A} =0\Leftrightarrow \mathrm {rank\;A} =\dim V\Leftrightarrow \mathrm {rank\;A} =\dim W\Leftrightarrow \mathrm {im\;A} =W.}$

Zobacz też

• lemat o rozszczepianiu
• nierówność Sylvestera
• twierdzenie Kroneckera-Capellego
• twierdzenie o izomorfizmie