Twierdzenie o rzucie ortogonalnym

Twierdzenie o rzucie ortogonalnymtwierdzenie analizy funkcjonalnej mówiące, że dla dowolnej domkniętej podprzestrzeni liniowej przestrzeni Hilberta istnieje ortogonalna podprzestrzeń komplementarna do wybranej. Ma ono szereg zastosowań nie tylko w analizie funkcjonalnej (np. dowód twierdzenia Riesza), ale również m.in. w teorii równań różniczkowych cząstkowych.

Niech będzie przestrzenią Hilberta, zaś będzie jej domkniętą podprzestrzenią liniową; wówczas

gdzie oznacza (wewnętrzną) sumę prostą, a to dopełnienie ortogonalne podprzestrzeni

Dowód

Ponieważ jest niepusta i wypukła jako podprzestrzeń liniowa oraz zupełna jako domknięta podprzestrzeń przestrzeni zupełnej[a], to spełnione są założenia twierdzenia o zbiorze wypukłym, które dla dowolnego elementu gwarantuje istnienie jedynego elementu , który leży najbliżej . Wówczas:

.

Z kolei poniższy lemat zapewnia, że element tj. a co za tym idzie (przestrzeń jest generowana przez ); ponadto jeżeli to co zachodzi tylko dla [b], a zatem stąd też jest ortogonalną sumą prostą podprzestrzeni i jej dopełnienia ortogonalnego

Element nazywany też bywa elementem najlepiej aproksymującym ew. rzutem na i oznaczany bywa ew. .

Lemat
Niech będzie przestrzenią unitarną z normą indukowaną z iloczynu skalarnego zaś będzie zupełną podprzestrzenią liniową w Wówczas jest rzutem na wtedy i tylko wtedy, gdy oraz [c].

Uwagi

  1. Niech będzie ciągiem w wtedy z definicji skąd z domkniętości zatem jest zupełna.
  2. Z definicji jest zbiorem tych elementów które są ortogonalne do każdego elementu zbioru jeżeli należy również do to znaczy, że jest do siebie ortogonalny, tj. Warunek ten można zapisać w postaci gdzie oznacza iloczyn skalarny przestrzeni co z jego niezdegenerowania ma miejsce wyłącznie dla
  3. Konieczność. Niech będzie rzutem na i niech Niech teraz oraz . Skoro jest najlepszym przybliżeniem należącym do , to
    gdzie oznacza część rzeczywistą liczby zespolonej zaś to jej sprzężenie zespolone.

    Otrzymana nierówność oznacza, iż , a stąd także . Tzn.

    Dostateczność. Niech oraz Niech dalej . Ponieważ jest podprzestrzenią liniową, to , skąd . Wobec tego:
    co oznacza, że jest najbliżej położonym punktem przestrzeni punktu .

Bibliografia