Twierdzenie o rzucie ortogonalnym

Twierdzenie o rzucie ortogonalnym – twierdzenie analizy funkcjonalnej mówiące, że dla dowolnej domkniętej podprzestrzeni liniowej przestrzeni Hilberta istnieje ortogonalna podprzestrzeń komplementarna do wybranej. Ma ono szereg zastosowań nie tylko w analizie funkcjonalnej (np. dowód twierdzenia Riesza), ale również m.in. w teorii równań różniczkowych cząstkowych.

Niech $H$ będzie przestrzenią Hilberta, zaś $C\subseteq H$ będzie jej domkniętą podprzestrzenią liniową; wówczas

H=C\oplus C^{\perp },

gdzie $\oplus$ oznacza (wewnętrzną) sumę prostą, a $C^{\perp }$ to dopełnienie ortogonalne podprzestrzeni $C.$

Dowód

Ponieważ $C$ jest niepusta i wypukła jako podprzestrzeń liniowa $H$ oraz zupełna jako domknięta podprzestrzeń przestrzeni zupełnej^[a], to spełnione są założenia twierdzenia o zbiorze wypukłym, które dla dowolnego elementu $h\in H$ gwarantuje istnienie jedynego elementu $a\in C$ , który leży najbliżej $h$ . Wówczas:

h=c+(h-c)

.

Z kolei poniższy lemat zapewnia, że element $(h-c)\perp C,$ tj. $h-c\in C^{\perp },$ a co za tym idzie $H=C+C^{\perp }$ (przestrzeń $H$ jest generowana przez $C,C^{\perp }$ ); ponadto jeżeli $x\in C\cap C^{\perp },$ to $x\perp x,$ co zachodzi tylko dla $x=0$ ^[b], a zatem $C\cap C^{\perp }=\{0\};$ stąd też $H=C\oplus C^{\perp }$ jest ortogonalną sumą prostą podprzestrzeni $C$ i jej dopełnienia ortogonalnego $C^{\perp }.$

Element $c$ nazywany też bywa elementem najlepiej aproksymującym $h$ ew. rzutem $h$ na $C$ i oznaczany bywa $P_{C}(h)$ ew. $\Pi _{C}(h)$ .

Lemat: Niech $X$ będzie przestrzenią unitarną z normą $\|\cdot \|$ indukowaną z iloczynu skalarnego $\langle \cdot ,\cdot \rangle ,$ zaś $Y$ będzie zupełną podprzestrzenią liniową w $X.$ Wówczas $a$ jest rzutem $x$ na $Y$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a\in Y$ oraz $(x-a)\perp Y$ ^[c].

Uwagi

↑ Niech $(x_{n})$ będzie ciągiem w $C,$ wtedy z definicji $x_{n}\to x\in H,$ skąd $x\in \mathrm {cl} \;C,$ z domkniętości $\mathrm {cl} \;C=C,$ zatem $C$ jest zupełna.
↑ Z definicji $C^{\bot }$ jest zbiorem tych elementów $x\in H,$ które są ortogonalne do każdego elementu zbioru $C;$ jeżeli $x\in C$ należy również do $C^{\perp },$ to znaczy, że jest do siebie ortogonalny, tj. $x\perp x.$ Warunek ten można zapisać w postaci $\langle x,x\rangle =0,$ gdzie $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ oznacza iloczyn skalarny przestrzeni $H,$ co z jego niezdegenerowania ma miejsce wyłącznie dla $x=0.$
↑ Konieczność. Niech $a$ będzie rzutem $x$ na $Y$ i niech $b\in Y\smallsetminus \{0\}=Y_{0}.$ Niech teraz $\lambda =\langle x-a,{\frac {b}{\|b\|}}\rangle$ oraz $c=a+\lambda {\frac {b}{\|b\|}}\in Y$ . Skoro $a$ jest najlepszym przybliżeniem $x$ należącym do $Y$ , to
$\|x-a\|^{2}\leqslant \|x-c\|^{2}=\langle x-c,x-c\rangle =\langle x-a-\lambda {\frac {b}{\|b\|}},x-a-\lambda {\frac {b}{\|b\|}}\rangle =$
$=\|x-a\|^{2}-2\Re \left({\overline {\lambda }}\cdot \langle x-a,{\frac {b}{\|b\|}}\rangle \right)+|\lambda |^{2}=\|x-a\|^{2}-2\Re \left({\overline {\lambda }}\cdot \lambda \rangle \right)+|\lambda |^{2}=$
$=\|x-a\|^{2}-2|\lambda |^{2}+|\lambda |^{2}=\|x-a\|^{2}-\|\lambda \|^{2},$
gdzie $\Re \;z$ oznacza część rzeczywistą liczby zespolonej $z,$ zaś ${\overline {z}}$ to jej sprzężenie zespolone.

Otrzymana nierówność oznacza, iż $\lambda =0$ , a stąd także $0=\lambda \cdot \|b\|=\langle x-a,b\rangle$ . Tzn. $(x-a)\perp b.$

Dostateczność. Niech $a\in Y$ oraz $(x-a)\perp Y.$ Niech dalej $b\in Y$ . Ponieważ $Y$ jest podprzestrzenią liniową, to $a-b\in Y$ , skąd $(x-a)\perp (a-b)$ . Wobec tego:
$\|x-b\|^{2}={\big \|}(x-a)+(a-b){\big \|}^{2}=\langle (x-a)+(a-b),(x-a)+(a-b)\rangle =$
$=\|x-a\|^{2}+\|a-b\|^{2}-2\cdot \Re \langle (x-a),(a-b)\rangle =\|x-a\|^{2}+\|a-b\|^{2}\geqslant \|x-a\|^{2},$
co oznacza, że $a$ jest najbliżej położonym punktem przestrzeni $Y$ punktu $x$ .

Bibliografia

Krzysztof Maurin: Analiza I – Elementy. Warszawa: PWN, 1976, s. 367–368.

[1] Niech $(x_{n})$ będzie ciągiem w $C,$ wtedy z definicji $x_{n}\to x\in H,$ skąd $x\in \mathrm {cl} \;C,$ z domkniętości $\mathrm {cl} \;C=C,$ zatem $C$ jest zupełna.

[2] Z definicji $C^{\bot }$ jest zbiorem tych elementów $x\in H,$ które są ortogonalne do każdego elementu zbioru $C;$ jeżeli $x\in C$ należy również do $C^{\perp },$ to znaczy, że jest do siebie ortogonalny, tj. $x\perp x.$ Warunek ten można zapisać w postaci $\langle x,x\rangle =0,$ gdzie $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ oznacza iloczyn skalarny przestrzeni $H,$ co z jego niezdegenerowania ma miejsce wyłącznie dla $x=0.$

[3] Konieczność. Niech $a$ będzie rzutem $x$ na $Y$ i niech $b\in Y\smallsetminus \{0\}=Y_{0}.$ Niech teraz $\lambda =\langle x-a,{\frac {b}{\|b\|}}\rangle$ oraz $c=a+\lambda {\frac {b}{\|b\|}}\in Y$ . Skoro $a$ jest najlepszym przybliżeniem $x$ należącym do $Y$ , to
$\|x-a\|^{2}\leqslant \|x-c\|^{2}=\langle x-c,x-c\rangle =\langle x-a-\lambda {\frac {b}{\|b\|}},x-a-\lambda {\frac {b}{\|b\|}}\rangle =$
$=\|x-a\|^{2}-2\Re \left({\overline {\lambda }}\cdot \langle x-a,{\frac {b}{\|b\|}}\rangle \right)+|\lambda |^{2}=\|x-a\|^{2}-2\Re \left({\overline {\lambda }}\cdot \lambda \rangle \right)+|\lambda |^{2}=$
$=\|x-a\|^{2}-2|\lambda |^{2}+|\lambda |^{2}=\|x-a\|^{2}-\|\lambda \|^{2},$
gdzie $\Re \;z$ oznacza część rzeczywistą liczby zespolonej $z,$ zaś ${\overline {z}}$ to jej sprzężenie zespolone.

Otrzymana nierówność oznacza, iż $\lambda =0$ , a stąd także $0=\lambda \cdot \|b\|=\langle x-a,b\rangle$ . Tzn. $(x-a)\perp b.$

Dostateczność. Niech $a\in Y$ oraz $(x-a)\perp Y.$ Niech dalej $b\in Y$ . Ponieważ $Y$ jest podprzestrzenią liniową, to $a-b\in Y$ , skąd $(x-a)\perp (a-b)$ . Wobec tego:
$\|x-b\|^{2}={\big \|}(x-a)+(a-b){\big \|}^{2}=\langle (x-a)+(a-b),(x-a)+(a-b)\rangle =$
$=\|x-a\|^{2}+\|a-b\|^{2}-2\cdot \Re \langle (x-a),(a-b)\rangle =\|x-a\|^{2}+\|a-b\|^{2}\geqslant \|x-a\|^{2},$
co oznacza, że $a$ jest najbliżej położonym punktem przestrzeni $Y$ punktu $x$ .

[a]

[b]

[c]

Navigation

Nawigacja

Portale tematyczne

Twierdzenie o rzucie ortogonalnym

Dowód

Uwagi

Bibliografia