Twierdzenie o trzech ciągach

Twierdzenie o trzech ciągach – twierdzenie analizy matematycznej o zależnościach między ciągami zbieżnymi. Twierdzenie to, w formie geometrycznej, stosowali już w starożytności Archimedes i Eudoksos. Obecną, ścisłą formę nadał mu Carl Friedrich Gauss. Analogiczne twierdzenie dla funkcji znane jest jako twierdzenie o trzech funkcjach.

Intuicyjność tego twierdzenia umożliwiła żartobliwe jego sformułowanie jako „twierdzenia o milicjantach” (w czasie stanu wojennego w Polsce, nazwa ta funkcjonuje także w Rosji, zob. milicja w Rosji; dziś częściej mówi się o policjantach): jeśli idziesz między dwoma milicjantami zmierzającymi do tego samego komisariatu, to też tam zmierzasz. We Włoszech twierdzenie nosi nazwę „twierdzenia o karabinierach”, we Francji zaś znane jest jako „twierdzenie o żandarmach”.

Twierdzenie

Niech dane będą trzy ciągi liczb rzeczywistych ${\displaystyle a_{n},b_{n}}$ oraz ${\displaystyle c_{n}.}$ Jeśli dla prawie wszystkich wyrazów tych ciągów, tzn. dla wszystkich ${\displaystyle n,}$ większych od pewnego wskaźnika ${\displaystyle N,}$ zachodzi

${\displaystyle a_{n}\leqslant b_{n}\leqslant c_{n},}$

przy czym

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }c_{n}=g,}$

to wtedy także

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=g.}$

Dowód

Niech dany będzie ${\displaystyle \varepsilon >0}$ Zbieżność ciągów ${\displaystyle a_{n}}$ oraz ${\displaystyle c_{n}}$ oznacza, że można wskazać ${\displaystyle \delta _{1},\delta _{2}\in \mathbb {N} ,}$ takie, że dla dowolnego ${\displaystyle n>\delta =\max(\delta _{1},\delta _{2})}$ zachodzą nierówności

${\displaystyle |a_{n}-g|<\varepsilon }$ oraz ${\displaystyle |c_{n}-g|<\varepsilon ,}$

Skąd na podstawie własności wartości bezwzględnej

${\displaystyle -\varepsilon <a_{n}-g}$ oraz ${\displaystyle c_{n}-g<\varepsilon ,}$

czyli

${\displaystyle g-\varepsilon <a_{n}}$ oraz ${\displaystyle c_{n}<g+\varepsilon .}$

Na podstawie powyższych nierówności i z założeń twierdzenia dla dowolnego ${\displaystyle n>\max(\delta ,N)}$ zachodzi oszacowanie

${\displaystyle g-\varepsilon <a_{n}\leqslant b_{n}\leqslant c_{n}<g+\varepsilon ,}$

które jest równoważne

${\displaystyle |b_{n}-g|<\varepsilon ,}$

co oznacza, że

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=g.}$

Przykłady

• Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach można dowieść, że

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{2^{n}+3^{n}+4^{n}}}=4.}$

Otóż dla dowolnego ${\displaystyle n}$ zachodzą oszacowania

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{4^{n}}}\leqslant {\sqrt[{n}]{2^{n}+3^{n}+4^{n}}}\leqslant {\sqrt[{n}]{4^{n}+4^{n}+4^{n}}}={\sqrt[{n}]{3\cdot 4^{n}}}=4{\sqrt[{n}]{3}}.}$

Wzięcie granic skrajnych wyrazów przy ${\displaystyle n\to \infty }$ daje

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{4^{n}}}\to 4,}$ gdyż ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{4^{n}}}}$ jest ciągiem stałym równym ${\displaystyle 4}$

oraz

${\displaystyle 4{\sqrt[{n}]{3}}\to 4,}$ gdyż ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}\to 1}$ dla ${\displaystyle a>0,}$

skąd na mocy twierdzenia również

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{2^{n}+3^{n}+4^{n}}}\to 4.}$

• Z dowodu twierdzenia o trzech ciągach wynika również, że jeśli granice dolna i górna ciągu są sobie równe, to dowolny jego podciąg jest zbieżny do tej granicy. Pociąga to za sobą zbieżność do danej granicy także całego ciągu.

Zobacz też

• twierdzenie Toeplitza
• twierdzenie o dwóch ciągach
• twierdzenie Bolzana-Weierstrassa
• twierdzenie Stolza

Bibliografia

• G.M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. dwunaste. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002, s. 45. ISBN 83-01-02175-6.