Twierdzenie podstawowe Cauchy’ego

Twierdzenie podstawowe Cauchy’egotwierdzenie analizy zespolonej orzekające, że dla funkcji holomorficznej całka z niej po drodze zamkniętej – tzw. całka okrężna – jest równa zero. Twierdzenie to było sformułowane i udowodnione przez Augustina Cauchy’ego, który wyprowadził z niego szereg podstawowych własności funkcji analitycznych.

Twierdzenie to ma wiele nazw: twierdzenie Cauchy’ego o całce krzywoliniowej bądź twierdzenie całkowe Cauchy’ego, ale również twierdzenie Cauchy’ego-Goursata, czy nawet lemat Goursata (nie mylić z lematem Goursata w teorii grup).

Twierdzenie

Niech będzie obszarem jednospójnym na płaszczyźnie zespolonej ograniczonym przedziałami gładką krzywą zamkniętą ponadto oznacza funkcję analityczną na obszarze dla którego Wówczas

Wnioski

  • Jeśli funkcja jest analityczna w obszarze jednospójnym oraz to dla każdych kawałkami gładkich krzywych łączących z mamy

Zatem możemy zdefiniować całkę

(tzn. nie zależy ona od drogi całkowania).

  • Dla jak powyżej określmy funkcję przez

Wówczas funkcja jest analityczna oraz

  • Niech będzie funkcją analityczną w obszarze jednospójnym z wyjątkiem punktów oraz niech będzie kawałkami gładką krzywą Jordana otaczającą wszystkie punkty (tzn. punkty te leżą we wnętrzu obszaru ograniczonego krzywą C). Wybierzmy liczbę dodatnią taką że okręgi o środku w i promieniu (dla ) nie przecinają się i nie przecinają krzywej. Wówczas

(Całki powyżej są po krzywych skierowanych dodatnio).

Zobacz też

Bibliografia