Twierdzenie przeciwstawne

Ten artykuł od 2021-04 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła, najlepiej w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Twierdzenie przeciwstawne (także: kontrapozycja lub transpozycja) – zdanie orzekające wynikanie zaprzeczenia założenia z zaprzeczenia tezy. Twierdzeniem przeciwstawnym do twierdzenia jeżeli A, to B jest zdanie jeżeli nieprawda, że B, to nieprawda, że A.

Przykładowo kontrapozycjami twierdzeń:

Jeżeli pada deszcz, to ludzie wyciągają parasole.

Jeżeli trawa jest zielona, to 2 + 2 = 5.

są odpowiednio:

Jeżeli ludzie nie wyciągają parasolów, to znaczy, że nie pada.

Jeżeli 2 + 2 ≠ 5, to trawa nie jest zielona.

Twierdzenie

Zdanie

${\displaystyle A\rightarrow B}$

można poddać kolejno przekształceniom (przy czym negacja ${\displaystyle \neg }$ wiąże najsilniej, zob. prawa rachunku zdań):

${\displaystyle \neg A\lor B}$ (prawo eliminacji implikacji),

${\displaystyle \neg A\lor \neg \neg B}$ (prawo podwójnego zaprzeczenia),

${\displaystyle \neg \neg B\lor \neg A}$ (prawo przemienności alternatywy),

${\displaystyle \neg B\rightarrow \neg A}$ (prawo eliminacji implikacji).

Oznacza to, iż

${\displaystyle (A\rightarrow B)\Leftrightarrow (\neg B\rightarrow \neg A)}$ (prawo transpozycji).

Słownie fakt ten wyraża się następująco:

twierdzenie przeciwstawne jest równoważne twierdzeniu wyjściowemu (oba są jednocześnie prawdziwe lub fałszywe).

Zobacz też

• twierdzenie proste
• twierdzenie odwrotne
• twierdzenie przeciwne