Twierdzenie van Aubela

Twierdzenia van Aubela – twierdzenia geometrii płaskiej przypisywane H.H. van Aubelowi. W literaturze geometrycznej określenie twierdzenie van Aubela używane jest w odniesieniu do przynajmniej dwóch różnych wyników.

Twierdzenie van Aubela dla czworokąta

Twierdzenie Aubela można stosować do wszystkich czworokątów, zarówno wypukłych, jak i wklęsłych
Twierdzenie

Przypuśćmy, że jest dany czworokąt Po zewnętrznej stronie każdego boku tego czworokąta zbudujmy kwadrat, otrzymując kwadraty i (takie, że odcinek jest bokiem kwadratu ). Wówczas punkty przecięcia przekątnych kwadratów zbudowanych na przeciwległych bokach wyjściowego czworokąta wyznaczają parę odcinków równych i prostopadłych. Inaczej mówiąc, jeśli są środkami kwadratów (odpowiednio), to odcinki i są prostopadłe i mają tę samą długość.

Dowód

Rozważmy obrót o dookoła punktu przy którym punkt przechodzi na punkt Niech oznacza obraz punktu przy tym przekształceniu. Wówczas, odcinki i są równe i prostopadłe. Z tego wynika, że odcinki i są równe i równoległe, czyli czworokąt jest równoległobokiem. Niech będzie środkiem odcinka Ponieważ jest to środek odcinka zatem jest to również środek kwadratu opartego na boku czyli odcinki i są równe i prostopadłe. Analogicznie dowodzimy, że odcinki i są równe i prostopadłe. To oznacza, że przy takim obrocie o dookoła punktu że punkt przechodzi na punkt punkt przechodzi na punkt – zatem istotnie, odcinki i są równe i prostopadłe, co kończy dowód

Twierdzenie van Aubela dla trójkąta

Twierdzenie

Niech będzie dany trójkąt i niech będzie punktem przecięcia trzech prostych łączących wierzchołki trójkąta z przeciwległymi bokami (lub ich przedłużeniami). Niech proste te będą wyznaczone przez odcinki i gdzie Wówczas[1]

Dowód

Niech oznacza pole trójkąta Trójkąty i mają wspólny bok, więc stosunek ich pól jest równy stosunkowi ich wysokości, a ten ostatni jest taki sam jak Zachodzi więc

skąd wynika, że

Rozważając trójkąty i zauważamy, że mają one tę samą wysokość (opuszczoną ze wspólnego wierzchołka ), a zatem stosunek ich pól jest taki sam jak stosunek długości ich podstaw:

W podobny sposób otrzymujemy też

Zatem

a z tych równości wynika, że

(i)  

Analogicznie uzasadniamy równość

(ii)  

Dodając stronami równości (i) oraz (ii), otrzymujemy

co należało wykazać.

Zobacz też

Przypisy

  1. S. I. Zetel: Geometria trójkąta. PWSZ, 1964, s. 22.

Linki zewnętrzne

Media użyte na tej stronie