Ułamek

W tych przegródkach znajduje się 7 gołębi. Jeden gołąb to jedna część z siedmiu – jedna siódma stadka, czyli nieco więcej niż 14% wszystkich.

Ciasto dzielimy na cztery równe części. Jedna część to ¼, czyli 25% całego ciasta – jeśli dodamy wszystkie cztery kawałki, uzyskamy całe ciasto.

Ułamek – wyrażenie postaci ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}},}$ gdzie ${\displaystyle a,}$ nazywane licznikiem, oraz ${\displaystyle b,}$ nazywane mianownikiem^[1], są dowolnymi wyrażeniami algebraicznymi. Linię oddzielającą licznik od mianownika nazywa się kreską ułamkową.

Wartością ułamka jest wartość jego licznika podzielona przez wartość mianownika, dlatego ułamek jest ilorazem. Z tego też powodu o mianowniku ułamka zakłada się, że jest różny od zera, bowiem iloraz ${\displaystyle {\tfrac {a}{0}}}$ jest nieokreślony.

Liczby wymierne

Jeżeli licznikiem i mianownikiem ułamka są liczby całkowite, wówczas wartością ułamka jest liczba wymierna.

Ułamek będący liczbą wymierną nazywa się właściwym, gdy jego wartość bezwzględna jest mniejsza od jedności^[2], a niewłaściwym, gdy jest ona od niej większa lub równa^[3]. Ułamek o dodatnim liczniku i mianowniku jest właściwy, gdy jego licznik jest mniejszy od mianownika, niewłaściwy – gdy jest większy lub równy. Ułamek niewłaściwy można przedstawić w postaci liczby mieszanej, tj. sumy liczby całkowitej i ułamka właściwego; aby tego dokonać należy wykonać dzielenie z resztą licznika przez mianownik. Zwyczajowo sumę zapisuje się już bez znaku dodawania, np. ${\displaystyle 1+{\tfrac {2}{3}}}$ staje się ${\displaystyle 1{\tfrac {2}{3}}.}$

Działania na ułamkach

Dla każdego ${\displaystyle c\neq 0}$ ułamek ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ jest równy ${\displaystyle {\tfrac {ac}{bc}}.}$ Operację zamiany ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ na ${\displaystyle {\tfrac {ac}{bc}}}$ nazywa się rozszerzeniem ułamka, odwrotną zaś skróceniem ułamka.

Mnożenie i dzielenie wykonuje się wg wzorów:S

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}},\quad {}}$ na przykład: ${\displaystyle {\frac {2}{9}}\cdot {\frac {4}{5}}={\frac {8}{45}}}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bc}}.}$

Przedstawienie liczby ${\displaystyle k}$ w postaci ułamka ${\displaystyle {\tfrac {k}{1}}}$ prowadzi do wzorów:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot k={\frac {ak}{b}},}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}}:k={\frac {a}{bk}}.}$

Aby dodać lub odjąć od siebie ułamki o identycznych mianownikach należy skorzystać z następujących wzorów:

${\displaystyle {\frac {a}{m}}+{\frac {b}{m}}={\frac {a+b}{m}},\qquad {\frac {a}{m}}-{\frac {b}{m}}={\frac {a-b}{m}}.}$

Jeżeli mianowniki są różne, należy uprzednio sprowadzić je do wspólnego mianownika, co polega na takim rozszerzeniu ułamków, aby ich mianowniki zrównały się. Prawdziwe są wzory:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}},\qquad {\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}.}$

Liczba ${\displaystyle bd}$ może zawsze pełnić rolę wspólnego mianownika, jednak często warto jest poszukać mniejszych wartości, najmniejszą możliwą jest najmniejsza wspólna wielokrotność liczb ${\displaystyle b}$ i ${\displaystyle d.}$

Aby sprowadzić ułamek do postaci nieskracalnej, należy podzielić zarówno licznik, jak i mianownik ułamka przez jak najwyższą możliwą liczbę (musi być taka sama!), np.:

${\displaystyle {\frac {450}{3150}}={\frac {450:50}{3150:50}}={\frac {9}{63}}={\frac {9:9}{63:9}}={\frac {1}{7}}}$

Wzór:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a:c}{b:c}}={\frac {d}{e}}={\frac {d:f}{e:f}}={\frac {g}{h}}}$ lub można skrócić na ${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a:c}{b:c}}={\frac {d}{e}},}$ gdzie ${\displaystyle b\neq 0,}$ ${\displaystyle c\neq 0,}$ ${\displaystyle e\neq 0,}$ ${\displaystyle f\neq 0}$ oraz ${\displaystyle h\neq 0.}$

Ułamek jest w postaci nieskracalnej, jeżeli licznik i mianownik nie mają wspólnych liczb, przez które można podzielić zarówno licznik, jak i mianownik bez reszty (nie licząc 0) lub ma postać ${\displaystyle {\frac {1}{a}},}$ gdzie ${\displaystyle a\neq 0.}$

Przykład: Ułamek ${\displaystyle {\frac {9}{40}}}$ jest nieskracalny, ponieważ 9 jest podzielne przez 1, 3, 9, a mianownika nie można bez reszty podzielić przez ani 3, ani 9, a dzielenie przez 1 nie zmienia ułamka.

Wyrażenia wymierne

Jeżeli licznik i mianownik danego ułamka są wielomianami, to nazywa się go wyrażeniem wymiernym; reprezentuje ono wówczas w naturalny sposób funkcję wymierną. Jeżeli stopień licznika jest większy lub równy stopniowi mianownika, to można wykonać dzielenie wielomianowe i otrzymać, podobnie jak w przypadku dzielenia liczb, wynik jako sumę wielomianu oraz funkcji wymiernej.

Ciało ułamków

Dla każdego pierścienia całkowitego ${\displaystyle P}$ (zatem i struktur takich jak pierścień liczb całkowitych czy pierścień wielomianów o współczynnikach całkowitych) można zdefiniować ciało nazywane ciałem ułamków.

Istotność założenia całkowitości pierścienia

Jeżeli pierścień przemienny ma dzielniki zera, to nie można skonstruować na nim ciała ułamków: jeśli ${\displaystyle xy=0}$ dla niezerowych ${\displaystyle x,y\in P,}$ to

${\displaystyle [1,1]\sim [x,x]=[x,1]\cdot [1,x]\sim [xy,y]\cdot [1,x]=[0,y]\cdot [1,x]\sim [0,1]\cdot [1,x]=[0,x]\sim [0,1],}$

czyli

${\displaystyle [1,1]\sim [0,1],}$

stąd zaś dla dowolnego

${\displaystyle [a,b]=[a,b]\cdot [1,1]\sim [a,b]\cdot [0,1]=[0,b]\sim [0,1],}$

więc jest tylko jedna klasa abstrakcji – klasa ${\displaystyle [0,1],}$ a z definicji ciało ma przynajmniej dwa różne elementy.

Dla pierścieni nieprzemiennych tworzenie ułamków bardzo się komplikuje.

Typografia

Ten artykuł jest częścią serii Historia oznaczeń matematycznych

Symbol działania + i − = <, >, ≤, ≥,⩽, ⩾, ≦, ≧, ≠ znak nieskończoności ∞ ułamki zwykłe separator dziesiętny moduł znak epsilon

Według działów matematyki analiza matematyczna rachunek różniczkowy i całkowy logika teoria grafów teoria liczb

Stałe matematyczne

Edytuj szablon

Licznik i mianownik zwykle oddziela się linią; jeżeli jest ona pochyła, to nazywa się ją ukośnikiem, np. ${\displaystyle 3/4;}$ jeśli linia ta jest pozioma, to nazywa się ją kreską ułamkową, np. ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}.}$

W Unicode niektóre ułamki kodowane są za pomocą jednego znaku, co przydatne jest w formatowaniu w systemach pisma CJK. Są to:

Zobacz też

• proporcja
• ułamek dziesiętny

Przypisy