Układ łańcuchowy

Układ łańcuchowy – pojęcie związane z robotami mobilnymi, oznacza sposób na przedstawienie zależności pomiędzy położeniem i orientacją robota w przestrzeni, a sygnałami sterującymi. Wzór na układ łańcuchowy używany jest m.in. w algorytmie sterowania sinusoidalnego.

Definicja

Układem łańcuchowym nazywa się układ równań różniczkowych w postaci:

${\displaystyle {\frac {dx_{1}}{dt}}=u_{1}}$

${\displaystyle {\frac {dx_{2}}{dt}}=u_{2}}$

${\displaystyle {\frac {dx_{3}}{dt}}=x_{2}u_{1}}$

${\displaystyle {\frac {dx_{4}}{dt}}=x_{3}u_{1}}$

...

${\displaystyle {\frac {dx_{n}}{dt}}=x_{n-1}u_{1}}$

Układ taki ma ${\displaystyle n}$ zmiennych i dwa sterowania, za pomocą których należy ustawić wszystkie zmienne na określonych pozycjach. Powyższe równania można także przedstawić jako układ bezdryfowy:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=g(x)u,}$

gdzie:

${\displaystyle g_{1}(x)={\begin{bmatrix}1\\0\\x_{2}\\.\\.\\x_{n-1}\end{bmatrix}},}$ ${\displaystyle g_{2}(x)={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\.\\.\\0\end{bmatrix}}.}$

Przykład

Istnieje nieliniowy układ dynamiczny przedstawiony jako układ równań (*)

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=u_{1}\cos \theta }$

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=u_{1}\sin \theta }$

${\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}=u_{2}}$

${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=u_{1}\operatorname {tg} \phi .}$

Na początku należy wyznaczyć przybliżenie liniowe funkcji ${\displaystyle \sin ,\cos ,\operatorname {tg} }$ stosując wzór:

${\displaystyle f(x)\approx f(x_{0})+{\frac {\partial f(x_{0})}{\partial x}}(x-x_{0}).}$

W ten sposób otrzymuje się:

${\displaystyle \sin \theta =\theta ,}$

${\displaystyle \cos \theta =1,}$

${\displaystyle \operatorname {tg} \phi =\phi ,}$

a po podstawieniu do (*):

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=u_{1}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=u_{1}\theta }$

${\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}=u_{2}}$

${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=u_{1}\phi .}$

Na podstawie otrzymanego układu równań tworzone są nowe zmienne ${\displaystyle x_{i},}$ które po zróżniczkowaniu dadzą układ łańcuchowy.

${\displaystyle x_{1}=x,}$

${\displaystyle x_{2}=\phi ,}$

${\displaystyle x_{3}=\theta ,}$

${\displaystyle x_{4}=y,}$

${\displaystyle {\frac {dx_{1}}{dt}}={\frac {dx}{dt}}=u_{1},}$

${\displaystyle {\frac {dx_{2}}{dt}}={\frac {d\phi }{dt}}=u_{2},}$

${\displaystyle {\frac {dx_{3}}{dt}}={\frac {d\theta }{dt}}=\phi *u_{1}=x_{2}*u_{1},}$

${\displaystyle {\frac {dx_{4}}{dt}}={\frac {dy}{dt}}=\theta *u_{1}=x_{3}*u_{1}.}$

W ten oto sposób otrzymany został układ łańcuchowy, którym można sterować (o ile jest sterowalny, patrz nawiasy Liego) za pomocą sygnałów wyznaczonych w algorytmie sterowania sinusoidalnego itp.