Układ Lorenza

Początkowa trajektoria układu Lorenza

Trajektoria układu Lorenza w przestrzeni ${\displaystyle xyz}$ dla parametrów ${\displaystyle r=28,}$ ${\displaystyle \sigma =10,b=8/3}$

Układ Lorenza – przedstawiony przez Edwarda Lorenza w 1963 roku układ trzech nieliniowych równań różniczkowych zwyczajnych modelujący w możliwie najprostszy sposób zjawisko konwekcji termicznej w atmosferze. Dla pewnego zbioru parametrów układ zachowuje się chaotycznie, a wykres zmiennych w przestrzeni fazowej przedstawia dziwny atraktor (tzw. atraktor Lorenza)

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {x}}=\sigma y-\sigma x\\{\dot {y}}=-xz+rx-y\\{\dot {z}}=xy-bz\end{cases}}}$

gdzie:

${\displaystyle \sigma }$ – liczba Prandtla, charakteryzująca lepkość ośrodka,

${\displaystyle r}$ – liczba Rayleigha, charakteryzująca przewodnictwo cieplne ośrodka,

${\displaystyle b}$ – stała charakteryzująca rozmiary obszaru, w którym odbywa się przepływ konwekcyjny.

Stałe ${\displaystyle \sigma ,}$ ${\displaystyle r}$ i ${\displaystyle b}$ są dodatnie, ale zwykle ${\displaystyle \sigma =10,}$ ${\displaystyle b=8/3,}$ a ${\displaystyle r}$ jest zmienne. Układ przejawia chaos dla ${\displaystyle r=28,}$ ale przejawia również splątane orbity okresowe dla innych wartości ${\displaystyle r,}$ np. dla ${\displaystyle r=99{,}96}$ układ staje się ${\displaystyle T(3,2)}$ węzłem torusowym.

Rozwiązania układu równań Lorentza są:

• trójwymiarowe,
• nieokresowe,
• deterministyczne,
• chaotyczne.

Poniżej znajduje się kod źródłowy napisany w środowisku MATLAB, który rozwiązuje omawiany układ równań oraz prezentuje wynik w postaci animacji:

% układ równań różniczkowych
sigma = 10;
r = 99.96;
b = 8/3;
dy = @(t,y)[sigma*(y(2)-y(1));
            -y(1)*y(3)+r*y(1)-y(2);
            y(1)*y(2)-b*y(3)];
% rozwiązanie układu
[t,y] = ode45(dy,[0 100],[0 0.5 1]);
% rysowanie wyniku
comet3(y(:,1),y(:,2),y(:,3))

Zobacz też

• efekt motyla

Bibliografia

• Edward N. Lorenz. Deterministic Nonperiodic Flow. „J.Atmos.Sci.”. 20 (2), s. 130–141, 1963. DOI: <0130:DNF>2.0.CO;2 10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2. 

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Atraktor Lorenza, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2015-03-01]  (ang.).
• Edward Lorenz i „efekt motyla”. [dostęp 2015-03-01]. [zarchiwizowane z tego adresu (2009-01-19)]. (pol.).
• Meteorologia – jako nauka, która dała początek matematycznej teorii chaosu. multifraktal.net. [dostęp 2015-03-01]. [zarchiwizowane z tego adresu (2013-05-02)]. (pol.).