Układ dynamiczny

Układ dynamiczny – model matematyczny rzeczywistego zjawiska przyrody, którego ewolucja jest wyznaczona jednoznacznie przez stan początkowy; najczęściej jest opisany pewnym wektorowym równaniem różniczkowym (czyli w istocie układem równań różniczkowych zwyczajnych), zwanym równaniem stanu. Teoria układów dynamicznych stanowi ważny dział matematyki znajdujący liczne zastosowania przy opisie konkretnych zjawisk, m.in. w teorii sterowania. Układy złożone są najczęściej symulowane komputerowo. Niektóre układy dynamiczne mogą wykazywać właściwości chaotyczne, najprostszym przykładem jest odwzorowanie logistyczne.

W odróżnieniu od układu statycznego, którego stan w danej chwili t jest zależny wyłącznie od wartości parametrów w chwili t, układ dynamiczny zależy także od parametrów z przeszłości.^[1] Innymi słowy system dynamiczny wymaga pamięci na temat poprzednich stanów aby wytworzyć wynik. Można go także określić jako układ z pamięcią, czyli układ, którego zachowanie zależy od stanu pamięci i zadanego wymuszenia.

Typy układów dynamicznych

Gładkie

(pochodzą od autonomicznych równań różniczkowych)

${\displaystyle X}$ – zbiór z pewną strukturą różniczkowalną,

${\displaystyle (T_{t})}$ – rodzina odwracalnych przekształceń różniczkowalnych (dyfeomorfizmów) spełniających warunek ${\displaystyle T_{t}{\circ }T_{s}=T_{t+s}.}$

Topologiczne

(dziedzina: dynamika topologiczna)

Niech ${\displaystyle \mathbf {X} }$ będzie przestrzenią topologiczną oraz ${\displaystyle \varphi :\mathbf {X} \times \mathbb {R} \to \mathbf {X} }$ niech będzie odwzorowaniem. Parę ${\displaystyle \left(\mathbf {X} ,\varphi \right)}$ nazywa się układem dynamicznym, jeżeli dla wszystkich ${\displaystyle x\in \mathbf {X} }$ oraz ${\displaystyle t,s\in \mathbb {R} }$ zachodzą warunki:

${\displaystyle \varphi (x,0)=x,}$

${\displaystyle \varphi (\varphi (x,t),s)=\varphi (x,t+s)}$

oraz ${\displaystyle \varphi }$ jest odwzorowaniem ciągłym.

Interpretacja

Interpretacja tej definicji może być następująca:

Przestrzeń ${\displaystyle \mathbf {X} }$ jest zbiorem wszystkich możliwych stanów, w których może znajdować się pewien fizyczny układ. Zbiór liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} }$ reprezentuje oś czasu. Punkt ${\displaystyle \varphi (x,t)}$ jest interpretowany jako stan układu po upływie czasu ${\displaystyle t,}$ jeżeli wiemy, iż układ ten był w chwili ${\displaystyle t=0}$ w stanie ${\displaystyle x.}$ Warunek drugi powyższej definicji mówi w istocie o tym, że sposób ewolucji początkowego stanu układu nie zależy od czasu, w którym ta ewolucja przebiega.

Teoriomiarowe

(dziedzina: teoria ergodyczna)

${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ – przestrzeń z miarą (zwykle probabilistyczna), ${\displaystyle T\colon X\to X}$ – odwzorowanie mierzalne, o którym często zakłada się, że zachowuje miarę, tzn. ${\displaystyle \mu (B)=\mu (T^{-1}B)}$ dla ${\displaystyle B\in {\mathcal {F}}.}$

Przykładami takich odwzorowań są: przekształcenie piekarza^{[2][3][4][5][6]} oraz przesunięcie w lewo dla uogólnionego schematu Bernoulliego (układu Bernoulliego), albo np.

${\displaystyle Tx=2x\mod 1}$ dla ${\displaystyle x\in X=[0,1].}$

Zobacz też

• układ statyczny
• przestrzeń fazowa (przestrzeń stanów)
• przestrzeń konfiguracyjna

Przypisy