Układ różniczkujący

Układ różniczkujący – układ elektroniczny którego napięcie wyjściowe jest proporcjonalne do szybkości zmian napięcia wejściowego. Układy różniczkujące buduje się jako aktywne i pasywne.

Teoria

Pasywny układ różniczkujący

Aktywny układ różniczkujący

Układ różniczkujący składa się z kondensatorów i rezystorów (rzadziej z cewek i rezystorów). Działanie układu opiera się na relacji pomiędzy prądem i napięciem na kondensatorze.

${\displaystyle i=C{\frac {dU}{dt}}.}$

W przypadku układu aktywnego prąd płynący przez kondensator jest proporcjonalny do pochodnej napięcia wejściowego po czasie. W układzie pasywnym zależność tę przyjmuje się z pewnym przybliżeniem. Prąd kondensatora płynie również przez rezystor. Napięcie na rezystorze, równe napięciu wyjściowemu, określa prawo Ohma.

• Dla układu pasywnego:

${\displaystyle i={\frac {U_{R}}{R}},}$

${\displaystyle U_{we}=U_{C}+U_{R}.}$

Po zróżniczkowaniu powyższych równań otrzymamy:

${\displaystyle {\frac {dU_{we}}{dt}}={\frac {dU_{C}}{dt}}+R{\frac {di}{dt}}={\frac {i}{C}}+R{\frac {di}{dt}}.}$

Przy zastosowaniu przybliżenia:

${\displaystyle \left|{\frac {i}{C}}\right|\gg R\left|{\frac {di}{dt}}\right|,}$

wtedy

${\displaystyle {\frac {dU_{we}}{dt}}={\frac {dU_{C}}{dt}}\cong {\frac {i}{C}}}$

i ostatecznie:

${\displaystyle U_{wy}\cong RC{\frac {dU_{we}}{dt}}.}$

• Dla układu aktywnego:

${\displaystyle i_{C}=i_{R}=i\quad U_{-}=U_{+}=0}$ oraz ${\displaystyle U_{wy}=-U_{R}}$

${\displaystyle C{\frac {dU_{we}}{dt}}-{\frac {U_{wy}}{R}}=0,}$

stąd:

${\displaystyle U_{wy}=-RC{\frac {dU_{we}}{dt}},}$

co potwierdza, że napięcie wyjściowe jest proporcjonalne do pochodnej napięcia wejściowego.

gdzie:

${\displaystyle i}$ – prąd płynący przez kondensator i rezystor,

${\displaystyle C}$ – pojemność,

${\displaystyle U_{C}}$ – napięcie na kondensatorze,

${\displaystyle R}$ – rezystancja opornika,

${\displaystyle U_{wy}}$ – napięcie wyjściowe równe napięciu na rezystorze,

${\displaystyle U_{we}}$ – napięcie wejściowe, w przybliżeniu równe napięciu na kondensatorze.

Zastosowanie

Układy różniczkowe są używane głównie w filtrach górnoprzepustowych, w systemach automatyki do przetwarzania sygnału. Były stosowane w pierwszej połowie XX w. w maszynach analogowych do symulacji elektrycznej rozwiązań równań różniczkowych.

Zobacz też

• układ całkujący (integrator)