Układ współrzędnych

Prawoskrętny układ współrzędnych

Układ współrzędnychodwzorowanie wzajemnie jednoznaczne przypisujące każdemu punktowi przestrzeni skończony ciąg (n-krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu [1][2].

Do określenia układu współrzędnych potrzebne jest

  1. ustalenie punktu początkowego (O, ang. origin), tzw. początku układu,
  2. ustalenie bazy wektorów przestrzeni za pomocą których można wyrazić wektory wodzące punktów przestrzeni jako kombinacje liniowe wektorów bazy, tj.

Współczynniki stojące przy wektorach bazy, na które rozkłada się dany wektor wodzący, stanowią współrzędne danego punktu w przyjętym układzie współrzędnych.

W szczególności przyjęcie punktu początkowego oraz jednego wektora jako wektora jednostkowego na prostej tworzy oś liczbową.

Przykład osi liczbowej


Liczba współrzędnych a wymiar przestrzeni

Liczba współrzędnych potrzebnych do określenia położenia punktu w danej przestrzeni jest równa wymiarowi tej przestrzeni. W szczególności:

  1. dla przestrzeni 1-wymiarowej, np. prostej, okręgu, elipsy itp. wystarczy 1 współrzędna,
  2. dla przestrzeni 2-wymiarowej – płaszczyzny sfery (powierzchni kuli) itp. potrzebne są 2 współrzędne,
  3. dla przestrzeni 3-wymiarowej – przestrzeni kuli itp. potrzebne są 3 współrzędne,
  4. dla przestrzeni Euklidesowych n-wymiarowych potrzeba n współrzędnych,
  5. dla rozmaitości topologicznych liczba współrzędnych niezbędnych do określenia położenia punktu jest równa wymiarowi przestrzeni Euklidesowej, lokalnie homeomorficznej z daną rozmaitością.

W ogólności do opisania położeń punktów w różnych przestrzeniach wprowadza się układy współrzędnych krzywoliniowych, np.

  1. dla punktów okręgu wystarczy podać jedną współrzędną biegunową
  2. dla punktów sfery wystarczy podać dwie współrzędne sferyczne
  3. dla punktów kuli wystarczy podać trzy współrzędne prostokątne lub sferyczne

Liczba współrzędnych użytych do określenia położenia danego punktu może być większa, jeżeli daną przestrzeń rozważa się jako podprzestrzeń przestrzeni o większej liczbie wymiarów. Np. powierzchnia sfery o promieniu zanurzona w przestrzeni 3-wymiarowej może być opisana za pomocą 3 współrzędnych prostokątnych przy czym między współrzędnymi zachodzi zależność

Uogólnienia

(1) Rozważa się przestrzenie nieskończenie wymiarowe.

(2) Obok układu współrzędnych prostokątnych, w których linie współrzędnych są prostymi wzajemnie prostopadłymi, wprowadza się

  • układy skośne, w których linie współrzędnych nie są wzajemnie prostopadłe,
  • układy krzywoliniowe, w których linie współrzędnych nie są liniami prostymi.

(3) Obok współrzędnych, które są liczbami rzeczywistymi, rozważa się współrzędne będące liczbami zespolonymi lub współrzędne będące elementami dowolnego ciała.

Rodzaje układów współrzędnych

Zobacz też

Przypisy

  1. Matematyka. Włodzimierz Waliszewski (red.). Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1988, s. 298, seria: Encyklopedia szkolna. ISBN 83-02-02551-8.
  2. Współrzędne, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-22].

Linki zewnętrzne

Media użyte na tej stronie

Zahlengerade -3 zu 3.svg
Autor: MichaelFrey, Licencja: CC BY-SA 3.0
Zahlengerade von -3 zu +3.
Coord planes color point pl.svg
Autor: Orignial by Falcorian at http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:Coord_planes_color.svg, changes by michaelnelson and Maciej Jaros (commons: Nux, wiki-pl: Nux), Licencja: CC BY-SA 2.5
Kolorowy rysunek trójwymiarowego układu współrzędnych z zaznaczonym punktem.