Układ współrzędnych biegunowych

Układ współrzędnych biegunowych (układ współrzędnych polarnych) – układ współrzędnych na płaszczyźnie wyznaczony przez pewien punkt ${\displaystyle O}$ zwany biegunem oraz półprostą ${\displaystyle OS}$ o początku w punkcie ${\displaystyle O}$ zwaną osią biegunową.

Definicja

Każdemu punktowi ${\displaystyle P}$ płaszczyzny przypisujemy jego współrzędne biegunowe, jak następuje^[1]:

• promień wodzący punktu ${\displaystyle P}$ to jego odległość ${\displaystyle |OP|}$ od bieguna,
• amplituda punktu ${\displaystyle P}$ to wartość kąta skierowanego pomiędzy półprostą ${\displaystyle OS}$ a wektorem ${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}.}$

Dla jednoznaczności przyjmuje się, że współrzędne bieguna ${\displaystyle O}$ są równe ${\displaystyle (0,0).}$ O amplitudzie możemy zakładać, że ${\displaystyle 0\leqslant \varphi <2\pi }$ (niektórzy autorzy przyjmują ${\displaystyle -\pi <\varphi \leqslant \pi }$).

Rys historyczny

Układ współrzędnych biegunowych został wprowadzony i rozwinięty w Europie w XVII wieku. Według Juliana Coolidge’a^[2] pierwszeństwo w używaniu tego układu należy przyznać albo Grégoire de Saint-Vincentowi lub Bonaventurze Cavalieriemu.

• Cavalieri^[3] użył współrzędnych biegunowych aby wyznaczyć pole obszaru ograniczonego spiralą Archimedesa (a ściślej mówiąc jej pierwszym „obrotem”).
• W 1647 de Saint-Vincent opublikował pracę, w której używał współrzędnych biegunowych i twierdził, że znał tę metodę już w 1625.
• W 1658, Blaise Pascal używa układu biegunowego w wyznaczeniu długości pewnych łuków. Trzy lata później podobnej metody użył szkocki matematyk James Gregory.
• Isaac Newton^[4] dyskutuje różne układy współrzędnych i w pewnych przypadkach używa układu biegunowego.
• Za twórcę biegunowego układu współrzędnych w jego współczesnej formie uważa się Jakoba Bernoulliego, który używał tego układu w badaniach krzywizny pewnych krzywych.

Związek z układem kartezjańskim

Rysunek pokazujący związek układów biegunowego i kartezjańskiego

Rozważmy dwa układy współrzędnych na płaszczyźnie: układ kartezjański ${\displaystyle OXY}$ oraz układ biegunowy z biegunem ${\displaystyle O}$ i osią biegunową ${\displaystyle OX.}$

Przejście od układu biegunowego do kartezjańskiego

Dla danego wektora wodzącego ${\displaystyle r\geqslant 0}$ i amplitudy ${\displaystyle \varphi \in [0,2\pi )}$ punktu ${\displaystyle P,}$ jego współrzędne kartezjańskie są określone wzorami^[5][6]:

${\displaystyle x=r\cdot \cos \varphi ,}$

${\displaystyle y=r\cdot \sin \varphi .}$

Współrzędne biegunowe można zapisać także pod postacią funkcji jednoargumentowej, podobnie jak w przypadku układu kartezjańskiego (funkcji ${\displaystyle y=f(x)}$).

${\displaystyle r=f(\varphi )}$

I tak okrąg o promieniu 1, można opisać funkcją:

${\displaystyle f(\varphi )=1}$

Jakobian przejścia wynosi

${\displaystyle {\frac {D(x,y)}{D(r,\varphi )}}=\left|{\begin{matrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{matrix}}\right|=\left|{\begin{matrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{matrix}}\right|}$ ${\displaystyle =r(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi )=r.}$

Przejście od układu kartezjańskiego do biegunowego

Rozważmy punkt o współrzędnych kartezjańskich ${\displaystyle (x,y).}$ Promień wodzący tego punktu może być wyznaczony na podstawie twierdzenia Pitagorasa:

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$^[7][6].

Jeśli ${\displaystyle r\neq 0}$ i ${\displaystyle x\neq 0,}$ to z definicji funkcji tangens:

${\displaystyle \operatorname {tg} \,\varphi ={\tfrac {y}{x}}}$^[7],

zatem amplituda ${\displaystyle \varphi }$ tego punktu jest dana wzorem:

${\displaystyle \varphi =\operatorname {arctg} \;({\tfrac {y}{x}})}$^[8]

(o ile dopuszczamy ujemne wartości ${\displaystyle \varphi }$).

Natomiast aby otrzymać ${\displaystyle 0\leqslant \varphi <2\pi ,}$ należy rozważyć następujące przypadki:

${\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\operatorname {arctg} \;({\tfrac {y}{x}}),&{\mbox{gdy }}x>0{\mbox{ oraz }}y\geqslant 0\\\operatorname {arctg} \;({\tfrac {y}{x}})+2\pi ,&{\mbox{gdy }}x>0{\mbox{ oraz }}y<0\\\operatorname {arctg} \;({\tfrac {y}{x}})+\pi ,&{\mbox{gdy }}x<0\\{\tfrac {\pi }{2}},&{\mbox{gdy }}x=0{\mbox{ oraz }}y>0\\{\tfrac {3\pi }{2}},&{\mbox{gdy }}x=0{\mbox{ oraz }}y<0\end{cases}},}$

gdzie ${\displaystyle \operatorname {arctg} }$ oznacza funkcję arcus tangens. W zakresie kątów ${\displaystyle (-\pi ,\pi )}$ można ten zapis uprościć do

${\displaystyle \varphi =\arccos({\tfrac {x}{r}})\;\operatorname {sgn}(y),}$

gdzie ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ oznacza funkcję signum.

Krzywe w układzie biegunowym

Dla szeregu krzywych algebraicznych ich równania przedstawione w układzie biegunowym cechują się dużą symetrią lub pewną prostotą. Równania te nazywamy równaniami biegunowymi krzywych.

Okrąg

Okrąg o równaniu ${\displaystyle r=1}$

Okrąg o środku w punkcie ${\displaystyle (r_{0},\varphi _{0})}$ i promieniu ${\displaystyle a>0}$ jest opisany przez równanie

${\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\varphi -\varphi _{0})+r_{0}^{2}=a^{2}.}$

W szczególnym przypadku gdy środek znajduje się w biegunie układu współrzędnych, powyższe równanie przybiera szczególnie prostą postać:

${\displaystyle r=a.}$

Róża

(c) Mets501, CC-BY-SA-3.0

Róża o równaniu ${\displaystyle r=2\sin(4\varphi )}$

Krzywa znana pod nazwą róży lub róży polarnej opisana jest przez równanie

${\displaystyle r=a\cos(k\varphi +\varphi _{0}),}$

gdzie ${\displaystyle \varphi _{0}}$ jest dowolną stałą, ${\displaystyle a}$ jest parametrem wyznaczającym długość „płatków” róży, a ${\displaystyle k}$ jest parametrem wyznaczającym ilość i formę „płatków” róży.

Jeśli ${\displaystyle k}$ jest nieparzystą liczbą całkowitą, to róża będzie miała ${\displaystyle k}$ płatków, a jeśli ${\displaystyle k}$ jest parzystą liczbą całkowitą, to róża będzie miała ${\displaystyle 2k}$ płatków. Dla innych wartości ${\displaystyle k}$ kształt krzywej może być bardziej skomplikowany.

Spirala Archimedesa

(c) Mets501, CC-BY-SA-3.0

Jedno ramię spirali Archimedesa o równaniu ${\displaystyle r=\varphi }$ dla ${\displaystyle 0<\varphi <6\pi }$

Spirala Archimedesa jest przedstawiona przez równanie

${\displaystyle r=a+b\varphi .}$

Parametry ${\displaystyle a,b}$ w powyższym równaniu odpowiedzialne są za kształt spirali: zmiana ${\displaystyle a}$ spowoduje obrócenie krzywej, a wartość ${\displaystyle b}$ wyznacza odległość pomiędzy ramionami.

Prosta

Prosta radialna, tzn. prosta przechodząca przez biegun, jest zadana przez równanie

${\displaystyle \varphi =\varphi _{0},}$

gdzie ${\displaystyle \varphi _{0}}$ to nachylenie prostej.

Prosta nieradialna, która jest prostopadła do prostej radialnej

${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}}$

i przecina ją w punkcie ${\displaystyle (r_{0},\varphi _{0}),}$ zadana jest przez równanie

${\displaystyle r=r_{0}\sec(\varphi -\varphi _{0}).}$

Pole powierzchni ograniczonej wykresem funkcji

Tak jak w układzie kartezjańskim powierzchnię wykresu funkcji ${\displaystyle f}$ można podzielić na prostokąty o wymiarach ${\displaystyle f(x)\times dx,}$ gdzie ${\displaystyle f(x)}$ jest wartością funkcji dla argumentu ${\displaystyle x,}$ zaś ${\displaystyle dx}$ jest różniczką tegoż argumentu, można poprzez analogię w układzie współrzędnych biegunowych, podzielić powierzchnię wykresu funkcji ${\displaystyle r}$ na trójkąty równoramienne, których wierzchołki zawarte pomiędzy ich ramionami znajdują się w biegunie, drugie są częścią wykresu, zaś trzecie znajdują się obok drugich i jednocześnie w tej samej odległości od bieguna, co te drugie, przy czym długość obu ramion jest równa ${\displaystyle r(\varphi ),}$ gdzie ${\displaystyle r(\varphi )}$ jest wartością funkcji dla argumentu ${\displaystyle \varphi ,}$ zaś kąt zawarty pomiędzy ramionami wynosi ${\displaystyle d\varphi ,}$ gdzie ${\displaystyle d\varphi \to 0}$ jest różniczką tegoż argumentu. Skorzystamy tutaj z jednego ze wzorów na pole powierzchni trójkąta, które jest równe połowie iloczynu długości jego ramion i sinusa kąta zawartego między nimi. W naszym przypadku różniczka powierzchni ${\displaystyle dS}$ będzie równa:

${\displaystyle dS(\varphi )={\frac {1}{2}}r(\varphi )r(\varphi )sin(d\varphi )={\frac {1}{2}}r^{2}(\varphi )\cdot {\frac {sin(d\varphi )}{d\varphi }}\cdot d\varphi }$

Ponieważ ${\displaystyle \lim _{d\varphi \to 0}{\frac {sin(d\varphi )}{d\varphi }}=1,}$ otrzymujemy:

${\displaystyle dS(\varphi )={\frac {1}{2}}r^{2}(\varphi )d\varphi .}$

Tak więc pole powierzchni ${\displaystyle S}$ ograniczonej wykresem funkcji ${\displaystyle r}$ wyraża się wzorem:

${\displaystyle S=\int _{\alpha }^{\beta }dS(\varphi )=\int _{\alpha }^{\beta }{\frac {1}{2}}r^{2}(\varphi )d\varphi ={\frac {1}{2}}\int _{\alpha }^{\beta }r^{2}(\varphi )d\varphi .}$

Długość łuku wykresu funkcji

W układzie współrzędnych biegunowych, powierzchnię wykresu funkcji ${\displaystyle r}$ można podzielić na trójkąty, których wierzchołki zawarte pomiędzy ich ramionami ${\displaystyle O}$ znajdują się w biegunie, zaś 2 pozostałe: ${\displaystyle P}$ i ${\displaystyle Q,}$ są częścią wykresu i znajdują się obok siebie, przy czym długość pierwszego ramienia ${\displaystyle |OP|}$ wynosi ${\displaystyle r(\varphi ),}$ drugiego ${\displaystyle |OQ|{:}}$ ${\displaystyle r(\varphi +d\varphi )=r(\varphi )+dr(\varphi )}$ dla argumentu ${\displaystyle \varphi ,}$ długość podstawy ${\displaystyle |PQ|}$ jest różniczką naszego łuku, a więc oznaczona jako ${\displaystyle dL,}$ zaś kąt zawarty pomiędzy ramionami ${\displaystyle (POQ)}$ wynosi ${\displaystyle d\varphi ,}$ gdzie ${\displaystyle d\varphi \to 0}$ jest różniczką tegoż argumentu. Na ramieniu ${\displaystyle OQ}$ umieszczamy punkt ${\displaystyle R,}$ który dzieli to ramię w ten sposób, że ${\displaystyle |OR|=|OP|=r(\varphi ),}$ zaś ${\displaystyle |RQ|=dr(\varphi ).}$ W ten sposób podzieliliśmy trójkąt ${\displaystyle OPQ}$ na 2 mniejsze: równoramienny ${\displaystyle OPR}$ (o podstawie ${\displaystyle PR}$) i ${\displaystyle PQR.}$ Kąt ${\displaystyle ORP}$ oznaczmy jako ${\displaystyle \gamma ,}$ zaś kąt ${\displaystyle PRQ}$ – jako ${\displaystyle \delta .}$ Kąty ${\displaystyle d\varphi }$ i ${\displaystyle \gamma }$ znajdują się w trójkącie równoramiennym, tak więc suma ich wszystkich jest równa ${\displaystyle \pi {:}}$

${\displaystyle 2\gamma +d\varphi =\pi ,}$

${\displaystyle 2\gamma =\pi -d\varphi ,}$

${\displaystyle \gamma ={\frac {\pi -d\varphi }{2}}.}$

Ponieważ ${\displaystyle d\varphi \to 0,}$ więc:

${\displaystyle \gamma \to {\frac {\pi }{2}}.}$

Kąty ${\displaystyle \gamma }$ i ${\displaystyle \delta }$ są względem siebie przyległe, tak więc ich suma jest równa ${\displaystyle \pi {:}}$

${\displaystyle \gamma +\delta =\pi ,}$

${\displaystyle \delta =\pi -\gamma =\pi -{\frac {\pi -d\varphi }{2}}={\frac {\pi +d\varphi }{2}}.}$

Ponieważ ${\displaystyle d\varphi \to 0,}$ więc:

${\displaystyle \delta \to {\frac {\pi }{2}}.}$

Skoro więc kąt ${\displaystyle \delta }$ znajduje się w trójkącie ${\displaystyle PQR,}$ to trójkąt ten można uznać za prostokątny, a skoro tworzą go boki ${\displaystyle PQ,}$ ${\displaystyle PR}$ i ${\displaystyle QR,}$ to muszą one spełniać twierdzenie Pitagorasa:

${\displaystyle |PQ|^{2}=|PR|^{2}+|QR|^{2},}$

${\displaystyle dL^{2}=|PR|^{2}+dr^{2}(\varphi ).}$

Długość podstawy ${\displaystyle |PR|}$ można policzyć w oparciu o twierdzenie cosinusów:

${\displaystyle |PR|^{2}=r^{2}(\varphi )+r^{2}(\varphi )-2r(\varphi )r(\varphi )cos(d\varphi )=2r^{2}(\varphi )-2r^{2}(\varphi )cos(d\varphi )=2r^{2}(\varphi )(1-cos(d\varphi )).}$

Powyższe otrzymane wyrażenie podstawiamy do wcześniejszej zależności wynikającej z twierdzenia Pitagorasa:

${\displaystyle dL^{2}=2r^{2}(\varphi )(1-cos(d\varphi ))+dr^{2}(\varphi )=\left(2r^{2}(\varphi )\cdot {\frac {1-cos(d\varphi )}{d\varphi ^{2}}}+\left({\frac {dr(\varphi )}{d\varphi }}\right)^{2}\right)d\varphi ^{2}=\left(2r(\varphi )^{2}\cdot {\frac {1-cos(d\varphi )}{d\varphi ^{2}}}+r'(\varphi )^{2}\right)d\varphi ^{2}.}$

Ponieważ ${\displaystyle \lim _{d\varphi \to 0}{\frac {1-cos(d\varphi )}{d\varphi ^{2}}}={\frac {1}{2}},}$ otrzymujemy:

${\displaystyle dL^{2}=\left(({\cancel {2}}r(\varphi )^{2}\cdot {\frac {1}{\cancel {2}}}+r'(\varphi )^{2}\right)d\varphi ^{2}=(r(\varphi )^{2}+r'(\varphi )^{2})d\varphi ^{2}.}$

Tak więc różniczka łuku ${\displaystyle dL}$ wykresu funkcji ${\displaystyle r}$ w układzie współrzędnych biegunowych wyraża się wzorem:

${\displaystyle dL(\varphi )={\sqrt {r(\varphi )^{2}+r'(\varphi )^{2}}}d\varphi .}$

Długość łuku ${\displaystyle L}$ wykresu funkcji ${\displaystyle r}$ wyraża się wzorem:

${\displaystyle L=\int _{\alpha }^{\beta }dL(\varphi )=\int _{\alpha }^{\beta }{\sqrt {r(\varphi )^{2}+r'(\varphi )^{2}}}d\varphi .}$

Liczby zespolone

Postaci trygonometryczna i wykładnicza liczb zespolonych

Liczby zespolone mogą być przedstawiane jako punkty na płaszczyźnie zespolonej. Wówczas możemy je opisywać albo używając układu kartezjańskiego:

${\displaystyle z=x+iy}$

albo podając je w układzie biegunowym, otrzymując tzw. postać trygonometryczną liczby zespolonej ${\displaystyle z{:}}$

${\displaystyle z=r\cdot (\cos(\varphi )+i\sin(\varphi )).}$

(Powyżej, ${\displaystyle r}$ to moduł liczby ${\displaystyle z,}$ a ${\displaystyle \varphi }$ to jej argument).

Postać trygonometryczna liczby zespolonej jest przekształcana do postaci wykładniczej

${\displaystyle z=re^{i\varphi },}$

gdzie ${\displaystyle e}$ to liczba Eulera.

Użyteczność postaci trygonometrycznej i wykładniczej liczb zespolonych wynika m.in. z faktu, że mnożenie, dzielenie i potęgowanie liczb w tych postaciach jest szczególnie proste:

• ${\displaystyle r_{0}e^{i\theta _{0}}\cdot r_{1}e^{i\theta _{1}}=r_{0}r_{1}e^{i(\theta _{0}+\theta _{1})},}$
• ${\displaystyle {\frac {r_{0}e^{i\theta _{0}}}{r_{1}e^{i\theta _{1}}}}={\frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{i(\theta _{0}-\theta _{1})},}$
• ${\displaystyle (re^{i\theta })^{n}=r^{n}e^{in\theta }.}$

Zobacz też

• układ współrzędnych astronomicznych
• układ współrzędnych sferycznych
• współrzędne geograficzne

Przypisy