Układ współrzędnych kartezjańskich

Dwuwymiarowy układ współrzędnych kartezjańskich

Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych mający dwie prostopadłe osie. Pewne cechy takiego układu ma też znana od czasów starożytnych szachownica oraz pochodzące z XVI wieku odwzorowanie Mercatora.

Pochodzenie nazwy

Nazwa układu pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (René Descartes, franc. przymiotnik cartesien), który wprowadził tę ideę w 1637 w traktacie La Géométrie^[1]. Już wcześniej, w 1636 metody prostokątnego układu współrzędnych używał Pierre de Fermat, jednak tego nie opublikował, przez co pozostała nieznana. Kartezjusz opracował układ współrzędnych niezależnie, co wywołało spór o pierwszeństwo z Fermatem. Spór zakończył się ostatecznie pogodzeniem obu uczonych i wzajemnym uznaniem zasług^[2].

Definicja

Układem współrzędnych kartezjańskich w przestrzeni n-wymiarowej nazywa się układ współrzędnych, w którym zadane są:

• punkt zwany początkiem układu współrzędnych, którego wszystkie współrzędne są równe zeru, często oznaczany literą ${\displaystyle O}$ lub cyfrą ${\displaystyle 0.}$
• ciąg n parami prostopadłych osi liczbowych zwanych osiami układu współrzędnych. Dwie pierwsze osie często oznaczane są jako:
  • ${\displaystyle X}$ (pierwsza oś, zwana osią odciętych),
  • ${\displaystyle Y}$ (druga, zwana osią rzędnych),

Liczba osi układu współrzędnych wyznacza wymiar przestrzeni.

Wykresy funkcji

Za pomocą układu współrzędnych kartezjańskich można tworzyć wykresy funkcji jednoargumentowych postaci:

${\displaystyle y=f(x)}$

np.:

${\displaystyle f(x)=ax+b}$

przedstawia funkcję liniową. Podstawiając pod ${\displaystyle x}$ wartości otrzymujemy drugą współrzędną ${\displaystyle y}$.

Współrzędne

Aby wyznaczyć k-tą współrzędną zadanego punktu ${\displaystyle P{:}}$

1. Tworzymy rzut prostokątny punktu ${\displaystyle P}$ na k-tą oś, tzn. konstruujemy prostą przechodzącą przez ${\displaystyle P}$ i prostopadłą do k-tej osi, a następnie znajdujemy punkt przecięcia tej prostej z k-tą osią.
2. Współrzędna tego punktu przecięcia na k-tej osi jest k-tą współrzędną punktu ${\displaystyle P.}$

Trzy pierwsze współrzędne są często oznaczane jako:

• ${\displaystyle x}$ – historyczna nazwa odcięta, łac. abscissa,
• ${\displaystyle y}$ – historyczna nazwa rzędna, łac. ordinata,
• ${\displaystyle z}$ – historyczna nazwa kota, łac. applicata.

Wzory w 2-wymiarowym układzie współrzędnych

• Współrzędne środka odcinka AB oznaczonego literą C, kiedy ${\displaystyle {\displaystyle A=({a},{b}}),}$ ${\displaystyle {\displaystyle B=({c},{d}})}$

${\displaystyle {\displaystyle C=({\tfrac {a+c}{2}},{\tfrac {b+d}{2}}})}$

• odległość punktu A od środka układu współrzędnych dla ${\displaystyle {\displaystyle A=({a},{b}})}$

${\displaystyle A={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

• Długość odcinka AB dla ${\displaystyle {\displaystyle A=({a},{b}}),}$ ${\displaystyle {\displaystyle B=({c},{d}})}$

${\displaystyle \left\vert AB\right\vert ={\sqrt {(a-c)^{2}+(b-d)^{2}}}}$ lub ${\displaystyle \left\vert AB\right\vert ={\sqrt {(c-a)^{2}+(d-b)^{2}}}}$

Ćwiartki i oktanty

Cztery ćwiartki układu współrzędnych kartezjańskich.

Osie dwuwymiarowego układu kartezjańskiego dzielą płaszczyznę na cztery przystające, nieograniczone zbiory nazywane ćwiartkami; brzeg każdej z nich składa się z dwóch półosi^[a]. Często numeruje się je od pierwszej do czwartej i oznacza symbolami rzymskimi: I (+,+), II (–,+), III (–,–) oraz IV (+,–), gdzie znaki w nawiasach odpowiadają znakom danej współrzędnej. Przy zwyczajowym rysowaniu osi, numeracja rozpoczyna się od prawej-górnej ćwiartki („północno-wschodniej”) i postępuje przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Podobnie trójwymiarowy układ współrzędnych określa podział przestrzeni na osiem części zwanych oktantami^[3], zgodnie z ośmioma sposobami ułożenia dwóch znaków +,– na trzech miejscach. Oktant, którego wszystkie trzy współrzędne są dodatnie, nazywany bywa pierwszym, jednak nie ma ogólnie przyjętej numeracji pozostałych oktantów. Uogólnienie ćwiartki i oktantu na wyższe wymiary nazywane bywa ortantem^[4].

Skrętność przestrzeni trójwymiarowej^[5]

Kartezjański układ współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej może być lewo- lub prawoskrętny. Terminy te są czysto umowne, gdyż nie sposób ściśle zdefiniować, jaki układ jest lewo- czy prawoskrętny, można jednak dla dwóch różnych układów sprawdzić, czy mają tę samą czy przeciwną skrętność.

Intuicyjnie prawoskrętny jest układ, w którym kiedy wnętrze obracającej się prawej dłoni zakreśla łuk od osi ${\displaystyle OX}$ do ${\displaystyle OY,}$ to kciuk ma zwrot zgodny ze zwrotem osi ${\displaystyle OZ}$ (tzw. reguła prawej dłoni Royberta albo reguła śruby prawoskrętnej). W ten sposób sprawdzamy, czy badany układ ma tę samą skrętność, co układ wyznaczony przez prawą rękę człowieka.

Zobacz też

• algorytm Hirvonena
• przestrzeń kartezjańska
• układ współrzędnych biegunowych

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

• Antoni Smoluk: Analiza matematyczna. Wrocław: Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu, 2017. ISBN 978-83-7695-634-3.