Układ współrzędnych walcowych

Walcowy układ współrzędnych

Walcowy układ współrzędnych (cylindryczny układ współrzędnych) – układ współrzędnych w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Posługiwanie się układem cylindrycznym jest korzystne gdy trajektoria ruchu ma osiową (cylindryczną) symetrię^[1].

Układ cylindryczny tworzony jest przez trzy wersory ${\displaystyle {\hat {n}}_{\rho },}$ ${\displaystyle {\hat {n}}_{\phi },}$ ${\displaystyle {\hat {n}}_{z},}$ które zmieniają swoją orientację w przestrzeni w zależności od ruchu punktu ${\displaystyle P}$^[2]. Każdy punkt ${\displaystyle P}$ przestrzeni zapisuje się w postaci trzech tzw. współrzędnych cylindrycznych ${\displaystyle (\rho ,\phi ,z),}$ gdzie poszczególne składowe wyrażają się następująco^[3]:

${\displaystyle \rho }$ – promień cylindra przeprowadzonego przez punkt ${\displaystyle P}$^[3],

${\displaystyle \phi }$ – kąt między osią ${\displaystyle x}$ układu nieruchomego a płaszczyzną, w której znajduje się wektor wodzący ${\displaystyle r(t)}$ i kierunek ${\displaystyle {\hat {n}}_{z}}$^[3],

${\displaystyle z}$ – wysokość (ta sama współrzędna jak dla układu nieruchomego)^[3].

Można wyprowadzić wzór: ${\displaystyle r(t)=\rho {\hat {n}}_{\rho }+z{\hat {n}}_{z}}$^[3].

Określenie prędkości następuje poprzez obliczenie pochodnej ${\displaystyle r{:}}$ ${\displaystyle v(t)={\frac {dr}{dt}}={\dot {\rho }}{\hat {n}}_{\rho }+\rho {\dot {\hat {n}}}_{\rho }+{\dot {z}}{\dot {\hat {n}}}_{z}}$^[3] (gdzie ${\displaystyle {\dot {}}}$ oznacza pierwszą pochodną względem czasu^[2]). Wersor ${\displaystyle {\hat {n}}_{z}}$ nie zmienia swojej orientacji i dlatego ${\displaystyle {\dot {{\hat {n}}_{z}}}=0,}$ co pozwala na pominięcie go w powyższym równaniu^[3]. Wersor ${\displaystyle {\dot {\hat {n}}}_{\rho }}$ należy wyrazić poprzez niezmienne w czasie wersory ${\displaystyle {\hat {n}}_{x}}$ i ${\displaystyle {\hat {n}}_{y}}$ układu nieruchomego^[3].

${\displaystyle {\hat {n}}_{\rho }={\hat {n}}_{x}\cos \phi +{\hat {n}}_{y}\sin \phi }$^[3],

${\displaystyle {\hat {n}}_{\phi }=-{\hat {n}}_{x}\sin \phi +{\hat {n}}_{y}\cos \phi }$^[3].

Zatem:

${\displaystyle {\dot {{\hat {n}}_{\rho }}}=-{\hat {n}}_{x}\sin \phi {\dot {\phi }}+{\hat {n}}_{y}\cos \phi {\dot {\phi }}={\dot {\phi }}{\hat {n}}_{\phi }}$^[3],

${\displaystyle {\dot {{\hat {n}}_{\phi }}}=-{\hat {n}}_{x}\cos \phi {\dot {\phi }}-{\hat {n}}_{y}\sin \phi {\dot {\phi }}=-{\dot {\phi }}{\hat {n}}_{\rho }}$^[3].

Stąd prędkość:

${\displaystyle v(t)={\dot {\rho }}{\hat {n}}_{\rho }+\rho {\dot {\phi }}{\hat {n}}_{\phi }+{\dot {z}}{\hat {n}}_{z}}$^[3],

a jej długość:

${\displaystyle |v|={\sqrt {({\dot {\phi }})^{2}+(\rho {\dot {\phi }})^{2}+({\dot {z}})^{2}}}}$^[3].

Przyspieszenie:

${\displaystyle a(t)={\frac {dv}{dt}}={\ddot {\rho }}{\hat {n}}_{\rho }+{\dot {\rho }}{\dot {\hat {n}}}_{\rho }+{\dot {\rho }}{\dot {\phi }}{\hat {n}}_{\phi }+\rho {\ddot {\phi }}{\hat {n}}_{\phi }+\rho {\dot {\phi }}{\dot {\hat {n}}}_{\phi }+{\ddot {z}}{\hat {n}}_{z}={\hat {n}}_{\rho }({\ddot {\rho }}-\rho ({\dot {\phi }})^{2})+{\hat {n}}_{\phi }(2{\dot {\rho }}{\dot {\phi }}+\rho {\ddot {\phi }})+{\hat {n}}_{z}{\ddot {z}}}$^[3]

${\displaystyle |a|={\sqrt {({\ddot {\rho }}-\rho ({\dot {\phi }})^{2})^{2}+(2{\dot {\rho }}{\dot {\phi }}+\rho {\ddot {\phi }})^{2}+({\ddot {z}})^{2}}}}$^[1].

Przykład zastosowania

Za pomocą współrzędnych cylindrycznych można bardzo łatwo opisać na przykład jednostajny ruch po okręgu^[1]:

${\displaystyle \rho =R=const}$^[1],

${\displaystyle \phi =\omega t,\omega =const}$^[1],

${\displaystyle z=0}$^[1]

oraz:

${\displaystyle r(t)=R{\hat {n}}_{\rho }}$^[1],

${\displaystyle v(t)=\omega R{\hat {n}}_{\phi }}$^[1],

${\displaystyle a(t)=-\omega ^{2}R{\hat {n}}_{\rho }}$^[1].

Zobacz też

• układ współrzędnych sferycznych

Przypisy