Uniwersum konstruowalne

Uniwersum konstruowalne (lub uniwersum Gödla) – klasa zbiorów budowana przy założeniu aksjomatyki Zermela-Fraenkla (ZF), która tworzy model wewnętrzny ZFC. W pewnym sensie klasa ta składa się tylko z tych zbiorów, które muszą istnieć, aby aksjomaty ZF były spełnione i każdy jej element jest opisany/skonstruowany przy użyciu elementów prostszych. Zwykle uniwersum konstruowalne oznacza się przez L a jego elementy nazywa zbiorami konstruowalnymi.

Konstrukcję L podał austriacki matematyk Kurt Gödel w celu udowodnienia, że jeśli ZF jest niesprzeczne, to także niesprzeczne jest ZF z dołączonym aksjomatem wyboru i uogólnioną hipotezą continuum (GCH). Sam wynik ogłoszono w 1938, ale pierwszy szkic dowodu (z konstrukcją L) ukazał się w 1939^[1]. Rok później Gödel opublikował monografię podającą szczegółowy opis tego modelu^[2].

Z uniwersum konstruowalnym związany jest aksjomat konstruowalności. Jest to zdanie orzekające, że każdy zbiór jest konstruowalny (tzn. V=L). Aksjomat konstruowalności jest niezależny od standardowych aksjomatów ZFC (ani tego aksjomatu, ani jego zaprzeczenia nie można udowodnić na gruncie ZFC).

Zagadnieniu uniwersum zbioru konstruowalnych poświęcona jest częściowo monografia Thomasa Jecha^[3].

Definicje

Operacje Gödla

Dla zbiorów ${\displaystyle x,y}$ określa się operacje:

${\displaystyle {\mathfrak {F}}_{1}(x,y)=\{x,y\},}$

${\displaystyle {\mathfrak {F}}_{2}(x,y)=x\times y,}$

${\displaystyle {\mathfrak {F}}_{3}(x,y)=\{(u,v)\colon \,u\in x\ \wedge \ v\in y\ \wedge \ u\in v\},}$

${\displaystyle {\mathfrak {F}}_{4}(x,y)=x\setminus y,}$

${\displaystyle {\mathfrak {F}}_{5}(x,y)=x\cap y,}$

${\displaystyle {\mathfrak {F}}_{6}(x,y)=\bigcup x,}$

${\displaystyle {\mathfrak {F}}_{7}(x,y)=\mathrm {dom} (x),}$

${\displaystyle {\mathfrak {F}}_{8}(x,y)=\{(u,v)\colon \,(v,u)\in x\},}$

${\displaystyle {\mathfrak {F}}_{9}(x,y)=\{(u,v,w)\colon \,(u,w,v)\in x\},}$

${\displaystyle {\mathfrak {F}}_{10}(x,y)=\{(u,v,w)\colon \,(v,w,u)\in x\}.}$

Niech ${\displaystyle A}$ będzie dowolnym zbiorem. Dla ${\displaystyle A}$ można zdefiniować indukcyjnie zbiory ${\displaystyle W_{n}{:}}$

• ${\displaystyle W_{0}=A}$
• jeżeli ${\displaystyle n}$ jest liczbą naturalną i skonstruowany został już zbiór ${\displaystyle W_{n},}$ to niech

${\displaystyle W_{n+1}=W_{n}\cup \{{\mathfrak {F}}_{i}(x,y)\colon \,x,y\in W_{n},\,i=1,2,\dots ,10\}.}$

Domknięciem Gödla zbioru A nazywa się zbiór

${\displaystyle {\mbox{cl}}(A)=\bigcup \limits _{n<\omega }W_{n}.}$

Domknięcie Gödla zbioru ${\displaystyle A}$ jest najmniejszym zbiorem który go zawiera oraz który jest zamknięty na operacje ${\displaystyle {\mathfrak {F}}_{1},\dots ,{\mathfrak {F}}_{10}.}$ Dla zbioru A określamy się również zbiór

${\displaystyle \mathrm {def} (A)=\mathrm {cl} \left(A\cup \{A\}\right)\cap {\mathcal {P}}(A),}$

gdzie ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$ oznacza zbiór potęgowy zbioru A.

Klasy L_α i L

Przez indukcję po liczbach porządkowych definiuje się hierarchię zbiorów konstruowalnych:

${\displaystyle {\mathbf {L} }_{0}=\emptyset ,}$

${\displaystyle {\mathbf {L} }_{\gamma }=\bigcup \limits _{\alpha <\gamma }{\mathbf {L} }_{\alpha }}$    gdy ${\displaystyle \gamma }$ jest liczbą graniczną,

${\displaystyle {\mathbf {L} }_{\alpha +1}=\mathrm {def} \left({\mathbf {L} }_{\alpha }\right).}$

Następnie

${\displaystyle {\mathbf {L} }=\bigcup _{\alpha }{\mathbf {L} }_{\alpha },}$

gdzie sumowanie przebiega po wszystkich liczbach porządkowych. Klasę L nazywa się uniwersum konstruowalnym a jej elementy nazywane są zbiorami konstruowalnymi.

Aksjomat konstruowalności to zdanie wszystkie zbiory są konstruowalne, tzn. ${\displaystyle {\mathbf {V} }={\mathbf {L} }.}$

Własności

• Każdy ze zbiorów ${\displaystyle {\mathbf {L} }_{\alpha }}$ jest tranzytywny (tzn. jeśli ${\displaystyle x\in {\mathbf {L} }_{\alpha },}$ to ${\displaystyle x\subseteq {\mathbf {L} }_{\alpha }}$) oraz ${\displaystyle \{x\in {\mathbf {L} }_{\alpha }:x}$ jest liczbą porządkową ${\displaystyle \}=\alpha .}$ Stąd ${\displaystyle \mathbf {L} }$ jest klasą tranzytywną zawierającą wszystkie liczby porządkowe.
• Jeśli M jest klasą tranzytywną zawierającą wszystkie liczby porządkowe i taką że ${\displaystyle M\models {\mathbf {ZF} },}$ to ${\displaystyle {\mathbf {L} }\subseteq M.}$
• ${\displaystyle \mathbf {L} }$ (z relacją ${\displaystyle \in }$) jest modelem ZFC. Ponadto następujące zdania są spełnione w tym modelu:

(i)  aksjomat konstruowalności ${\displaystyle {\mathbf {V} }={\mathbf {L} }}$

(ii)  uogólniona hipoteza continuum GCH

(iii)  diament ${\displaystyle \diamondsuit }$ (zasada kombinatoryczna Jensena)

(iv)  istnieje drzewo Suslina, tzn. ¬SH

(v)  istnieje drzewo Kurepy, tzn. KH

(vi)   nie istnieje liczba mierzalna

(vii)   istnieje ${\displaystyle \Sigma _{2}^{1}}$ dobre uporządkowanie prostej

(viii)   istnieje ${\displaystyle \Delta _{2}^{1}}$-podzbiór prostej, który nie jest mierzalny w sensie Lebesgue’a i który nie ma własności Baire’a

(ix)   istnieje nieprzeliczalny koanalityczny podzbiór prostej który nie zawiera żadnego podzbioru doskonałego

(x)  hipoteza Whiteheada, tzn. każda grupa przemienna ${\displaystyle A}$ taka, że ${\displaystyle \mathbf {Ext} ^{1}(A,\mathbb {Z} )=0}$ jest wolną grupą abelową (zob. funktor Ext).

• Zdania (ii)-(ix) sformułowane powyżej są konsekwencjami aksjomatu konstruowalności (zdania (i)). Jego przyjęcie powoduje, że powyższe zdania są prawdziwe również w uniwersum von Neumanna, dając odpowiedź na wiele problemów teorii mnogości oraz pewnych interesujących pytań w analizie.

Przypisy