Własność Baire’a

Własność Baire’a – własność zbioru wskazująca na pewnego rodzaju jego regularność: można go uważać za zbiór prawie otwarty. Nazwa nadana dla uhonorowania René-Louisa Baire’a.

Zbiór ${\displaystyle A}$ przestrzeni topologicznej ${\displaystyle X}$ ma własność Baire’a, jeżeli można go przedstawić w postaci różnicy symetrycznej ${\displaystyle U\triangle M}$ zbioru otwartego ${\displaystyle U}$ i mizernego ${\displaystyle M;}$ równoważnie: różnica symetryczna ${\displaystyle A\triangle U}$ zbioru ${\displaystyle A}$ i zbioru otwartego ${\displaystyle U}$ jest mizerna.

Przykłady

• Każdy zbiór borelowski ma własność Baire’a.
• Każdy zbiór mizerny ma własność Baire’a.
• W przestrzeniach polskich każdy zbiór analityczny ma własność Baire’a.
• Zarówno zbiory Vitalego, jak i zbiory Bernsteina nie mają własności Baire’a.

Własności

• W dowolnej przestrzeni topologicznej, zbiory o własności Baire’a tworzą σ-ciało podzbiorów tej przestrzeni. Jest to najmniejsze σ-ciało zawierające zarówno zbiory otwarte, jak i zbiory mizerne.
• Jeśli podzbiór ${\displaystyle Z}$ przestrzeni polskiej ${\displaystyle X}$ ma własność Baire’a, to odpowiednia gra Banacha-Mazura ${\displaystyle \Game ^{\mathrm {BM} }(Z)}$ jest zdeterminowana.
• Polscy matematycy Jan Mycielski i Hugo Steinhaus wykazali, że aksjomat determinacji pociąga własność Baire’a wszystkich podzbiorów prostej^[1].

Mierzalność

Własność Baire jest najczęściej rozważana dla podzbiorów przestrzeni polskich czy wręcz podzbiorów prostej rzeczywistej. W tym kontekście jest ona często porównywana do mierzalności w sense Lebesgue’a. Matematycy pracujący w teorii mnogości, topologii, czy też teorii miary są często zainteresowani odkrywaniem podobieństw, jak i przeciwieństw między tymi własnościami^[2][3].

• Twierdzenie Kuratowskiego-Ulama mówi, że^[4]

jeśli ${\displaystyle X,Y}$ są przestrzeniami polskimi i ${\displaystyle A\subseteq X\times Y}$ jest zbiorem o własności Baire’a,

to ${\displaystyle A}$ jest zbiorem mizernym wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór

${\displaystyle {\big \{}x\in X:\{y\in Y:(x,y)\in A\}}$ nie jest mizerny w ${\displaystyle Y{\big \}}}$

jest mizerny w ${\displaystyle X}$ (w istocie wystarczy założenie, że ${\displaystyle X,Y}$ są Hausdorffa i ${\displaystyle Y}$ ma przeliczalną π-bazę).

Powyższe twierdzenie jest uważane za topologiczny odpowiednik twierdzenia Fubiniego dla miary.

• Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią polską i ${\displaystyle A\subseteq X.}$ Wówczas można znaleźć zbiór ${\displaystyle B\subseteq X}$ mający własność Baire’a i taki, że

jeśli ${\displaystyle C\subseteq B\setminus A}$ ma własność Baire’a, to ${\displaystyle C}$ jest mizerny.

Ten wynik jest często podawany jako topologiczny odpowiednik miary zewnętrznej.

• W 1970, Robert M. Solovay udowodnił, że zakładając istnienie liczby nieosiągalnej, istnieje model teorii mnogości w którym wszystkie rzutowe podzbiory prostej są mierzalne w sensie Lebesgue’a i mają własność Baire’a^[5].
• W 1984 Saharon Szelach wykazał, że^[6]
  • model, w który wszystkie zbiory rzutowe mają własność Baire’a, może być otrzymany bez użycia liczb nieosiągalnych, ale
  • mierzalność zbiorów rzutowych implikuje, że ${\displaystyle \omega _{1}}$ jest liczbą nieosiągalną w uniwersum zbiorów konstruowalnych (Kurta Gödla).

Ten wynik Shelaha był jednym z pierwszych istotnych przykładów asymetrii pomiędzy własnością Baire’a a mierzalnością w sensie Lebesgue’a.

• Randall Dougherty, Matthew Foreman^[7] udowodnili, że jest możliwy paradoksalny rozkład kuli na kawałki które mają własność Baire’a. (Części rozkładu paradoksalnego muszą być niemierzalne).

Zobacz też

• twierdzenie Baire’a

Przypisy