Własność Banacha-Saksa

Własność Banacha-Saksa – własność niektórych przestrzeni unormowanych polegająca na tym, że każdy ograniczony ciąg punktów w przestrzeni unormowanej ma podciąg zbieżny według średniej (inne nazwy: sumowalny w sensie Cesàro, limesowalny), tzn. jeżeli dla każdego ograniczonego ciągu jej punktów istnieje podciąg o tej własności, że ciąg

jest zbieżny (w sensie normy). Ciągi mające powyższą własność nazywane są ciągami Banacha-Saksa.

Nazwa pojęcia pochodzi o nazwisk polskich matematyków, Stefana Banacha i Stanisława Saksa, którzy rozszerzyli twierdzenie Mazura mówiące, że słaba granica ciągu punktów przestrzeni Banacha jest granicą w sensie normy kombinacji wypukłych wyrazów tego ciągu, o możliwość znalezienia w przestrzeni Lp(0,1), takiego ciągu kombinacji wypukłych wyrazów wyjściowego ciągu, który jest dodatkowo sumowalny w sensie Cesàro[1]. Wynik ten został jeszcze dalej rozszerzany przez Shizuo Kakutaniego na przestrzenie jednostajnie wypukłe[2]. Wiesław Szlenk wprowadził pojęcie słabej własności Banacha-Saksa, zastępując pojęcie ciągu ograniczonego w definicji własności Banacha-Saksa ciągiem słabo zbieżnym do zera oraz udowodnił, że przestrzeń ma tę własność[3]. Definicja obydwu tych własności Banacha-Saksa przenosi się analogicznie na podzbiory przestrzeni unormowanych.

Twierdzenia i przykłady

  • Każda przestrzeń mająca własność Banacha-Saksa jest refleksywna[4]. Istnieją jednak przestrzenie refleksywne, które nie mają tej własności – pierwszy przykład takiej przestrzeni został podany przez Alberta Baernsteina[5].
  • Julian Schreier podał, jako pierwszy, przykład przestrzeni (tzw. przestrzeń Schreiera), która nie ma słabej własności Banacha-Saksa[6]. Udowodnił także, że przestrzeń funkcji ciągłych na liczbie porządkowej również nie ma tej własności.
  • Podciąg ciągu Banacha-Saksa nie musi być ciągiem Banacha-Saksa.
  • ℓp-sumy przestrzeni o własności Banacha-Saksa nadal mają tę własność[7].
  • Istnieje przestrzeń o własności Banacha-Saksa dla której przestrzeń (funkcji całkowalnych z kwadratem w sensie Bochnera o wartościach w ) nie ma tej własności[8].
  • Każdy ograniczony ciąg punktów przestrzeni Banacha zawiera podciąg o tej własności, że każdy podciąg tego ciągu jest ciągiem Banacha-Saksa bądź żaden nie jest ciągiem Banacha-Saksa.
  • Obraz ściśle addytywnej miary wektorowej ma własność Banacha-Saksa[9][10].
  • Jeżeli jest taką przestrzenią Banacha, że jej przestrzeń sprzężona jest jednostajnie wypukła, to ma własność Banacha-Saksa[11].
  • Przestrzeń sprzężona do przestrzeni Schlumprechta ma własność Banacha-Saksa[12].

Operatory Banacha-Saksa

Operator ograniczony między przestrzeniami Banacha i nazywany jest operatorem Banacha-Saksa, jeżeli każdy ograniczony ciąg punktów przestrzeni ma taki podciąg że ciąg

jest zbieżny w przestrzeni Analogicznie definiuje się pojęcie słabego operatora Banacha-Saksa, zastępując warunek ograniczoności ciągu warunkiem słabej zbieżności do zera.

Klasa operatorów Banacha-Saksa tworzy niesymetryczny, domknięty ideał operatorowy. W szczególności rodzina operatorów Banacha-Saksa na przestrzeni Banacha tworzy domknięty ideał algebry operatorów ograniczonych na (analogicznie, rodzina słabych operatorów Banacha-Saksa na również tworzy domknięty ideał).

Własność p-BS i indeks Banacha-Saksa

Jeżeli jest ustaloną liczbą rzeczywistą, to o ciągu ograniczonym elementów przestrzeni Banacha mówi się, że jest p-BS-ciągiem, gdy zawiera taki podciąg że

O przestrzeni Banacha mówi się, że ma własność p-BS jeżeli każdy ciąg jej elementów zbieżny słabo do 0 zawiera podciąg będący p-BS-ciągiem[13][14]. Pojęcie własności p-BS nie uogólnia pojęcia własności Banacha-Saksa. W szczególności, każda przestrzeń Banacha ma własność 1-BS. Zbiór

jest postaci bądź gdzie jest pewną liczbą nie mniejszą od 1. Jeżeli to indeks Banacha-Saksa przestrzeni definiuje się jako natomiast gdy to Przykładem przestrzeni mającej własność 2-BS jest

Przypisy

  1. ↑ S. Banach, S. Saks, Sur la convergence forte dans les champs , „Studia Mathematica”, 2 (1930) s. 51–57.
  2. ↑ S. Kakutani, Weak convergence in uniformly convex spaces Math. Inst. Osaka Imp. Univ. (1938) s. 165–167.
  3. ↑ W. Szlenk, Sur les suites faiblement convergents dans l’espace „Studia Mathematica”, 25 (1969), s. 337–341.
  4. ↑ T. Nishiura, D. Waterman, Reflexivity and summability, „Studia Mathematica”, 23 (1963) s. 53–57.
  5. ↑ A. Baernstein II, On reflexivity and summability, „Studia Mathematica”, 42 (1972), s. 91–94.
  6. ↑ J. Schreier, Ein Gegenbeispiel zur Theorie der swachen Konvergenz Studia Mathematica, 2 (1930) s. 58–62.
  7. ↑ J.R. Partington, On the Banach–Saks property, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 82 (1977) s. 369–374.
  8. ↑ S. Guerre, La propriété de Banach–Saks ne pase pas de à d'áprés J. Bourgin, Sem. Anal. Fonctionnelle Ecole Polytechn. Palaiseau (1979–1980), s. 8.
  9. ↑ J. Diestel, C.J. Seifert, An averaging property of the range of a vector measure, „Bulletin of the American Mathematical Society”, 82 (1976), s. 907–909.
  10. ↑ R. Anantharaman, The range of a vector measure has the Banach-Saks property, „Proceedings of the American Mathematical Society” 66 (1977), s. 183–184 [1].
  11. ↑ N. Okada, On the Banach-Saks property, „Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci.”, Volume 60, Number 7 (1984), s. 246–248. [2].
  12. ↑ K. Cho, C. Lee, Banach-Saks property on the dual of the Schlumprecht space, „Kangweon-Kyungki Math. Jour.”, 6 (1998), No. 2, s. 341–348. [3].
  13. ↑ E.M. Semenov, F.A. Sukochev, The Banach–Saks index, Mat. Sb., 195:2 (2004), s. 117–140.
  14. ↑ S.V. Astashkin, E.M. Semenov, F.A. Sukochev, The Banach-Saks p-property, Math.Ann., 332 (2005), no. 4, s. 879–900.

Bibliografia

  • Joram Lindenstrauss: Handbook of the Geometry of Banach Spaces. T. 1. North Holland, 2001, s. 444. ISBN 0-444-82842-7.
  • Albert Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. Wyd. pierwsze. Boston: Birkhäuser, 2007, s. 523–535. ISBN 0-8176-4367-2.