Własność Darboux

Własność Darboux – jedna z najważniejszych własności funkcji ciągłych.

Funkcje rzeczywiste

Definicja

Funkcja ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ma własność Darboux, jeśli obraz każdego przedziału jest znowu przedziałem. W szczególności^[1]:

Jeżeli ${\displaystyle a<b,}$ ${\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0,}$ obraz funkcji ${\displaystyle f}$ obejmuje cały przedział ${\displaystyle [f(a),f(b)]}$ (albo ${\displaystyle [f(b),f(a)]}$), więc istnieje taka wartość ${\displaystyle c}$ należąca do przedziału otwartego ${\displaystyle (a,b),}$ że ${\displaystyle f(c)=0}$.

Własności

• Twierdzenie Darboux (opublikowane przez Gastona Darboux) mówi, że każda funkcja ciągła ma własność Darboux.

• Nie każda funkcja o własności Darboux jest ciągła. Na przykład funkcja

${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{ll}\sin {\frac {1}{x}},&x>0\\0,&x\leqslant 0\end{array}}\right.}$

ma własność Darboux, ale nie jest ciągła w punkcie 0.

• Suma dwóch funkcji o własności Darboux nie musi mieć własności Darboux. Za pomocą indukcji pozaskończonej można^[2] znaleźć taką funkcję ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ o własności Darboux, że nawet funkcja ${\displaystyle g(x):=f(x)+x}$ nie ma własności Darboux.
• Jeśli funkcja jest różniczkowalna w pewnym zbiorze, to jej pochodna także ma własność Darboux w tym zbiorze.

Uogólnienie

Mówimy że funkcja ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ między przestrzeniami topologicznymi ma własność Darboux, jeżeli obraz każdego podzbioru spójnego przestrzeni ${\displaystyle X}$ jest podzbiorem spójnym przestrzeni ${\displaystyle Y.}$ (Jest to uogólnienie powyższego pojęcia, gdyż podzbiór ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$ jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle A}$ jest przedziałem.)

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Darboux property (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2022-08-06].