Własność Radona-Nikodýma

Własność Radona-Nikodýma – własność przestrzeni Banacha, która pozwala na rozszerzenie klasycznego twierdzenia Radona-Nikodýma na miary wektorowe o wartościach w danej przestrzeni. Klasa przestrzeni Banacha mających własność Radona-Nikodýma pozwala na przeniesienie klasycznych twierdzeń dotyczących różniczkowania (jak, na przykład, twierdzenie Rademachera) na funkcje o wartościach wektorowych.

Definicja

Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią Banacha. Przestrzeń ${\displaystyle X}$ ma własność Radona-Nikodýma względem przestrzeni z miarą (${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle \mu }$), gdy dla każdej miary wektorowej ${\displaystyle \nu }$ o ograniczonym wahaniu, która jest bezwzględnie ciągła względem ${\displaystyle \mu }$ istnieje taka funkcja

${\displaystyle g\colon \Omega \to X}$

całkowalna w sensie Bochnera (nazywana pochodną Radona-Nikodýma miary ${\displaystyle \nu }$), że

${\displaystyle \nu (A)=\int \limits _{A}g(\omega )\mu (\mathrm {d} \omega )}$

dla każdego ${\displaystyle \mu }$-mierzalnego zbioru ${\displaystyle A.}$ Przestrzeń Banacha ma własność Radona-Nikodýma, gdy ma własność Radona-Nikodýma względem każdej przestrzeni z miarą probabilistyczną^[1].

Własność Radona-Nikodýma przestrzeni ℓ₁

Niech (${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle \mu }$) będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech ${\displaystyle \nu }$ będzie miarą wektorową o wartościach w przestrzeni ℓ₁, która jest bezwzględnie ciągła względem ${\displaystyle \mu ,}$ tj. dla wszelkich zbiorów ${\displaystyle \mu }$-mierzalnych ${\displaystyle A}$ zachodzi warunek

${\displaystyle \|\nu (A)\|\leqslant \mu (A).}$

Ponieważ elementami przestrzeni ℓ₁ są ciągi, można zapisać

${\displaystyle \nu (A)={\big (}\nu _{1}(A),\nu _{2}(A),\nu _{3}(A),\dots {\big )}.}$

Każda z miar skalarnych ${\displaystyle \nu _{i}}$ jest bezwzględnie ciągła względem ${\displaystyle \mu ,}$ więc w przypadku każdej z nich stosuje się twierdzenie Radona-Nikodýma, tj. istnieją funkcje całkowalne

${\displaystyle g_{i}\colon \Omega \to \mathbb {C} }$

o tej własności, że

${\displaystyle \nu _{i}(A)=\int \limits _{A}g_{i}(\omega )\mu (\mathrm {d} \omega ).}$

Funkcja

${\displaystyle g(\omega )={\big (}g_{1}(\omega ),g_{2}(\omega ),\dots {\big )}}$

przyjmuje wartości w ℓ₁ dla prawie wszystkich javascript:nuxsr.next()h ${\displaystyle \omega }$ oraz jest pochodną Radona-Nikodýma ${\displaystyle \nu .}$^[2]

Charakteryzacja przez funkcje lipschitzowskie

Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią Banacha. Wówczas ma ona własność Radona-Nikodýma wtedy i tylko wtedy, gdy każda funkcja lipschitzowska

${\displaystyle f\colon [0,1]\to X}$

jest różniczkowalna prawie wszędzie.

${\displaystyle L_{1}}$ nie ma własności Radona-Nikodýma

Używając powyższej charakteryzacji można wykazać, że przestrzeń ${\displaystyle L_{1}[0,1]}$ nie ma własności Radona-Nikodýma. Istotnie, funkcja

${\displaystyle f\colon [0,1]\to L_{1}[0,1]}$

dana wzorem

${\displaystyle f(t)={\mathsf {1}}_{[0,t]}\quad (t\in [0,1])}$

spełnia warunek Lipschitza, ponieważ jest izometrią. Dla

${\displaystyle 0\leqslant s<t<1}$

wyrażenie

${\displaystyle {\frac {f(t)-f(s)}{t-s}}={\frac {{\mathsf {1}}_{(s,t]}}{t-s}}}$

ma normę 1, a więc nie jest zbieżne do 0 przy żadnym ustalonym ${\displaystyle s}$ oraz ${\displaystyle t\to s}$^[3].

Twierdzenie Lindenstraussa

Joram Lindenstrauss udowodnił, że każdy niepusty, domknięty i wypukły podzbiór przestrzeni mającej własność Radona-Nikodýma ma punkt ekstremalny^[4].

Przykłady

Wszystkie wymienione niżej klasy przestrzeni Banacha mają własność Radona-Nikodýma:

• przestrzenie refleksywne,
• przestrzenie ośrodkowe będące przestrzeniami sprzężonymi; ogólniej, podprzestrzenie przestrzeni WCG będące przestrzeniami sprzężonymi pewnych przestrzeni,
• przestrzenie lokalnie jednostajnie wypukłe będące przestrzeniami sprzężonymi,
• przestrzenie słabo lokalnie jednostajnie wypukłe będące przestrzeniami sprzężonymi pewnych przestrzeni,
• przestrzenie sprzężone przestrzeni, w których norma jest funkcją różniczkowalną w sensie Frécheta,
• przestrzeń ${\displaystyle \ell _{1}(\Gamma ),}$ gdzie ${\displaystyle \Gamma }$ jest dowolnym zbiorem,
• przestrzenie Hardy’ego,
• przestrzeń szeregów bezwarunkowo zbieżnych w ${\displaystyle X}$ dla przestrzeni ${\displaystyle X}$ mających własność Radona-Nikodýma,
• przestrzeń ${\displaystyle L_{p}(\mu ,X),}$ gdy ${\displaystyle X}$ ma własność Radona-Nikodýma.

Wymienione niżej przestrzenie nie mają własności Radona-Nikodýma:

• przestrzenie ${\displaystyle c,c_{0},\ell _{\infty },L_{\infty }([0,1]),}$
• przestrzenie operatorów zwartych i przestrzenie operatorów liniowych i ciągłych na ${\displaystyle X,}$ gdy ${\displaystyle X=L_{p}}$ lub ${\displaystyle X=c_{0}.}$

Przypisy

Bibliografia

• Joseph Diestel, John Jerry (Jr.) Uhl: Vector Measures. Rhode Island: American Mathematical Society, 1977.
• G.A. Edgar, Louis Sucheston: Stopping Times and Directed Processes. Cambridge: Cambridge University Press, 1992, seria: Encyclopedia of Mathematics and its Applications (47).
• David Preiss, Joram Lindenstrauss, Jaroslav Tišer: Frechet Differentiability of Lipschitz Functions and Porous Sets in Banach Spaces. Princeton University Press, 2012, seria: Annals of Mathematics Studies.