Wahadło

(c) Diego Delso, CC BY-SA 3.0
Wahadło rzeczywiste, którego ruch można opisać za pomocą modelu wahadła matematycznego (Katedra Metropolitalna, miasto Meksyk).
Wahadło matematyczne, rozkład siły grawitacji na składowe w układzie biegunowym.

Wahadłociało zawieszone w jednorodnym polu grawitacyjnym w taki sposób, że może wykonywać drgania wokół poziomej osi nieprzechodzącej przez środek ciężkości zawieszonego ciała.

W mechanice wyróżnia się dwa podstawowe modele fizyczne wahadeł[1]:

  • matematyczne (proste) – opisujące wahadło jako punkt materialny, zawieszony na nieważkiej nici,
  • fizyczne – opisujące wahadło jako bryłę sztywną.

Ważną cechą wahadeł fizycznego i matematycznego jest niemal pełna niezależność ich okresu drgań od amplitudy, przy założeniu że amplituda drgań jest mała[a]. Własność ta, zwana izochronizmem drgań, została odkryta około 1602 roku przez Galileusza, który używał wahadła do pomiaru czasu. Zainspirowany tą zasadą Christiaan Huygens zbudował w 1656 roku pierwszy zegar wahadłowy[2]. Zegary wahadłowe były najdokładniejszymi urządzeniami do pomiaru czasu aż do skonstruowania w latach 30. XX wieku zegarów kwarcowych.

Ogólnie wahadło jest oscylatorem anharmonicznym, jego okres drgań i inne parametry zależą od amplitudy. Rozwiązanie ogólnego równania ruchu wahadła jest dość złożone, ale założenia upraszczające przyjmowane dla małej amplitudy drgań pozwalają rozwiązać w sposób analityczny.

Wahadło matematyczne

Wahadło matematyczne to punkt materialny poruszający się po okręgu w płaszczyźnie pionowej w jednorodnym polu grawitacyjnym[1]. Równanie ruchu wahadła określa wzór[1]:

gdzie:

– kąt odchylenia wahadła od pionu w chwili przy czym kąty te przyjmują wartości dodatnie np. dla odchyleń w prawo, a ujemne dla odchyleń w lewo,
– przyspieszenie ziemskie,
– długość nici.

Drgania dla małej amplitudy

Funkcję sinus można przybliżyć jej argumentem, gdy kąt jest odpowiednio mały (wzór Taylora)[b][1]:

wówczas ogólne równanie ruchu wahadła upraszcza się do postaci

Powyższe równanie jest równaniem drgań harmonicznych. Rozwiązanie określa zależność kąta wahań od czasu i może być określone wzorem[3]:

gdzie:

– amplituda drgań,
– częstość kołowa drgań,
– faza początkowa drgań.

Okres drgań jest związany z częstością wzorem

okres drgań wynosi[4]

Wynika stąd, że w przybliżeniu dla małych drgań wahadła okres drgań nie zależy od amplitudy, a jedynie od długości wahadła i przyspieszenia grawitacyjnego.

Wzór na okres drgań jest więc słuszny nie tylko dla drgań na Ziemi, ale też np. na Księżycu, gdzie przyspieszenie grawitacyjne jest około 6 razy mniejsze niż na Ziemi. Identyczne wahadło miałoby tam razy dłuższy okres drgań.

Okres drgań o dowolnej amplitudzie

Zależność okresu drgań wahadła T od amplitudy drgań

Dla dużych amplitud wahań okres drgań zależy od amplitudy i rośnie wraz z jej wzrostem. Zależność okresu od amplitudy opisuje wzór[5]:

gdzie K jest zupełną całką eliptyczną pierwszego rodzaju.

Jego rozwinięciem jest wzór:

Rozwijając w szereg Maclaurina[6]:

Gdy w powyższym wzorze pominie się wyrazy sumy poza pierwszym wyrazem, równym 1, to otrzyma się wzór na okres małych drgań wahadła (patrz wyżej). Kąt graniczny izochronizmu zależy od przyjętej dokładności; dla kąta 6° okres drgań jest o około 0,07% większy od minimalnego[7].

Przybliżona zależność okresu od amplitudy

Zależność kąta wychylenia od czasu dla wahadeł o tej samej długości, mających różne amplitudy kątowe drgań: 0,25π =45° (szary) oraz 0,99π =178° (czarny).
Konstrukcja wahadła cykloidalnego o okresie niezależnym od amplitudy.

Zagadnienie ruchu wahadła można rozwiązać przybliżając funkcję sinus do dwóch wyrazów, wówczas równanie ruchu wahadła przyjmuje postać[11]:

Rozwiązanie powyższego równania ma w przybliżeniu postać (z dokładnością do wyrazów 3-go rzędu)

gdzie:

– amplituda drgań o częstotliwości
– amplituda drgań o częstotliwości

Rozwiązanie powyższe wskazuje, iż wahadło matematyczne dla amplitud dostatecznie dużych nie jest oscylatorem harmonicznym, lecz:

  • ruch wahadła jest złożeniem dwóch drgań harmonicznych mających częstotliwości oraz i amplitudy odpowiednio równe oraz
  • częstotliwość drgań zależy od (czyli nie występuje izochronizm drgań charakterystyczny dla małych amplitud) i maleje wraz z jej wzrostem
  • amplituda wyższej harmonicznej zależy w trzeciej potędze od amplitudy

Z drugiej strony, dla dostatecznie małych wartości częstotliwość drgań zbliża się do wartości zaś amplituda wyższej harmonicznej staje się pomijalnie mała – otrzymuje się drganie harmoniczne o amplitudzie i częstotliwości która nie zależy od amplitudy.

Wahadło o okresie niezależnym od amplitudy

Ruch ciał po tautochronie.

Problemem konstruowania dokładnych zegarów wahadłowych, których szybkość chodu nie zależy od amplitudy drgań, zajmował się Christiaan Huygens, wykazał że niezależność szybkości chodu zapewni zmniejszanie długość nici wahadła wraz z wychyleniem; następnie wykazał, że zrealizuje to wahadło cykloidalne, tj. wahadło, w którym nić lub elastyczny element zawieszenia, będzie owijać się na cykloidzie o poziomej osi i promieniu równym ćwierci długości wahadła. W ten sposób skonstruował wahadło o okresie niezależnym od amplitudy[12].

Problem wahadła o okresie niezależnym od amplitudy sprowadza się do wyznaczenia takiej krzywej, że ciało poruszając pod działaniem stałej siły grawitacji po niej w takim samym czasie przemieści się od punktu ruszenia do jej najniższego punktu. Krzywa zwana jest tautochroną i jest cykloidą[13].

Rozwiązanie ogólnego równania ruchu

a) Wykres energii potencjalnej wahadła prostego w zależności od kąta wychylenia (u góry)
b) krzywe fazowe, tj. krzywe zależności współrzędnej prędkości kątowej wahadła od kąta odchylenia (u dołu).

Dokładne rozwiązanie ruchu wahadła dla dowolnej amplitudy można podać w postaci uwikłanej[14]:

Wykonując całkowanie w zakresie od 0 do przy stałym kącie maksymalnego wychylenia otrzymuje się

Całka w powyższym wzorze jest całką eliptyczną pierwszego rodzaju.

Całkowita energia mechaniczna wahadła. Punkty zwrotne. Krzywe fazowe

W opisie ruchu wahadła zamiast kąta maksymalnego wychylenia jako stały parametr ruchu można przyjąć całkowitą energię mechaniczną wahadła [14]. Energia ta determinuje punkty zwrotne ruchu wahadła, które charakteryzują kąty maksymalnego odchylenia.

Krzywe fazowe wahadła są to krzywe prezentujące zależność współrzędnej prędkości kątowej wahadła od kąta odchylenia wahadła od pionu. Niech oznacza energię potrzebną do odchylenia wahadła z położenia równowagi do pionu, tj. odchylenia o kąt Na podstawie wykresów fazowych można odróżnić poszczególne przypadki ruchu[9] (por. wykres obok): 1) gdy to krzywe fazowe są krzywymi zamkniętymi; 2) gdy to krzywe fazowe tworzą przecinające się linie; 3) gdy to krzywe fazowe są liniami otwartymi.

Poniżej zestawiono animacje pokazujące sposoby (mody) oscylacji wahadła matematycznego w zależności od jego energii całkowitej. Animacje pokazują, że okres drgań zależy od amplitudy. Małe wykresy powyżej wahadeł są wykresami fazowymi ruchu wahadeł.

Wyżej podano dokładne rozwiązanie równania ruchu wahadła dla dowolnej amplitudy, ale w postaci uwikłanej. Podanie zależności kąta wychylenia w postaci analitycznej sprawia już problem. Okresową funkcję można przedstawić w postaci szeregu Taylora[15]:

Dla wahadła symetrycznego ruszającego z maksymalnego wychylenia, gdy czas równa się zero, wychylenie jest symetryczną funkcją czasu dlatego współczynniki przed funkcją sinus są równe zero. Stąd otrzymuje się:

Można także wykazać, że parzyste harmoniczne składowej cosinus są równe zero.

Wahadło w stanie nieważkości

W stanie nieważkości siła grawitacji jest równoważona przez siłę bezwładności układu odniesienia. W wyniku czego ciało wahadła zachowuje się tak jakby nie działała na nie siła. W zależności od warunków początkowych ciało wahadła spoczywa (jest w równowadze trwałej) albo porusza się ruchem jednostajnym po okręgu[16].

Reakcja więzów

Z definicji wahadła prostego, jego ruch jest ograniczony przez więzy do ruchu po okręgu. Suma składowych sił działających na ciało prostopadłe do toru ruchu jest siłą dośrodkową, jej wartość określa wzór[17]

przy czym znak „minus” jest dlatego, że siła działa w stronę środka okręgu, przeciwnie do zwrotu współrzędnej układu współrzędnych biegunowych. Zależność tej siły od kąta θ można określić wyznaczając prędkość wahadła z zasady zachowania energii, co daje[17].

gdzie – kąt maksymalnego odchylenia wahadła.

Siłę napięcia nici określa wzór[17]

W przyjętym tu układzie współrzędnych biegunowych, który jest zgodny z więzami, wyznaczenie siły reakcji więzów jest niepotrzebne do opisu ruchu wahadła. Wyznaczenie tej siły byłoby konieczne, gdyby siły opisywać w układzie współrzędnych kartezjańskich. Dobór układu współrzędnych zgodnych z więzami stanowi podstawę sformułowania mechaniki klasycznej w ujęciu mechaniki Lagrange’a.

Przykładowy ruch podwójnego wahadła matematycznego

Uogólnienia

Wahadło rzeczywiste, złożone z ciała zawieszonego na nici, może być traktowane jako wahadło matematyczne, jeżeli spełnione są następujące założenia[4]:

  • rozmiary ciała są niewielkie w porównaniu z długością nici,
  • nić jest nieważka,
  • nić jest nierozciągliwa,
  • wahadłu nadano prędkość początkową tak, że drga w płaszczyźnie pionowej (a nie np. porusza się w płaszczyźnie poziomej po elipsie),
  • na ciało działają jedynie siła ciężkości oraz siła reakcji nici (pomijalne są inne siły, np. siła oporów ruchu ze strony powietrza).

Wahadło matematyczne stanowi szczególny przypadek wahadła fizycznego (patrz niżej)[4].

W fizyce rozważa się kilka modeli wahadeł, które nie spełniają założeń wahadła matematycznego lub fizycznego.

Przykładami są:

  • wahadło sferyczne – ciało na nierozciągliwej nici, ale jego ruch nie jest ograniczony do płaszczyzny,
  • wahadło stożkowe – ciało na nierozciągliwej nici, a ciało porusza się po okręgu,
  • wahadło podwójne – ciało wahadła jest punktem zawieszenia kolejnego wahadła, może być rozważane jako płaskie i sferyczne, matematyczne i fizyczne,
  • wahadło z rozciągliwą nicią,
  • wahadło cykloidalne – wahadło o okresie niezależnym od amplitudy drgań[12][18].

Wahadło fizyczne

Jest to bryła sztywna zawieszona na stałej osi poziomej w jednorodnym polu grawitacyjnym. Bryła ta może wykonywać obroty dookoła tej osi. Wahadło rozważa się jako ruch obrotowy bryły sztywnej. Na wychylone z położenia równowagi wahadło działa moment siły[1]:

Równanie ruchu wahadła można wyrazić wzorem:

Porównując to równanie z równaniem ruchu wahadła matematycznego, wprowadza się długość zredukowaną wahadła fizycznego

Wówczas równanie ruchu wahadła fizycznego ma identyczną postać jak równanie ruchu wahadła matematycznego, co oznacza że wszystkie wnioski dotyczące ruchu wahadła fizycznego są identyczne z wnioskami dotyczącymi wahadła matematycznego. Przykładowo okres drgań zapisuje się jako[1]:

Rozważając wahadło matematyczne, czyli masę punktową zawieszoną na nieważkiej nici jako bryłę sztywną:

Po podstawieniu tych wielkości do równań wahadła fizycznego otrzymuje się równania ruchu wahadła matematycznego. Oznacza to, że wahadło matematyczne może być uważane jako szczególny przypadek wahadła fizycznego[1],

gdzie:

Wahadło fizyczne stosuje się jako przyrząd do dokładnego pomiaru przyspieszenia ziemskiego[1]. Przykładem wahadła do pomiaru przyspieszenia ziemskiego oraz jako przyrządu dydaktycznego jest wahadło rewersyjne.

Wahadło Foucaulta

Wahadło Foucaulta w Muzeum Sztuk i Rzemiosł w Paryżu; w miarę obrotu wahadło przewraca ustawione wokoło klocki.
Animacja ruchu wahadła Foucaulta w Paryżu widziana ze Słońca. Niebieska linia – trajektoria ciężarka. W środku umieszczono słupek, który rzuca cień Słońca. Zielona linia – rzut trajektorii ciężarka na obracającą się Ziemię (obrót dobowy Ziemi został wyolbrzymiony 1 obrót w 110 s).

Płaszczyzna drgań wahadła znajdującego się na Ziemi poza równikiem powoli obraca się względem Ziemi. Zjawisko to można wyjaśnić jako efekt działania siły Coriolisa wywołanej ruchem wahadła na obracającej się Ziemi. Wahadło umożliwiające obserwację tego efektu, jest nazywane wahadłem Foucaulta[19].

Okres obrotu płaszczyzny wahadła w dla obserwatora znajdującego się na obracającej się Ziemi opisuje wzór[19]:

gdzie szerokość geograficzna, na której znajduje się wahadło. Np. dla szerokości geograficznej 52° (okolice Warszawy) okres wahadła Foucaulta wynosi około 30 h 27 min i maleje ze wzrostem szerokości geograficznej. Na biegunach okres ten wynosi 24 h.

Drgania tłumione i wymuszone wahadła

W omówionych tu zagadnieniach opisane były drgania swobodne wahadła matematycznego i fizycznego, tj. drgania odbywające się jedynie pod wpływem siły ciężkości oraz siły reakcji nici czy podpory. Siły grawitacji są siłami zachowawczymi. Podobnie zachowawcze są rozważane tu siły reakcji, gdy punkt zaczepienia nici jest nieruchomy (siła reakcji nie zależy wtedy jawnie od czasu i działa prostopadle do chwilowego kierunku ruchu wahadła; w konsekwencji taka siła reakcji nie wykonuje pracy). Energia mechaniczna wahadła poddanego działaniu tylko tych sił byłaby zachowana i w konsekwencji powodowałaby jego nieustanny ruch[20].

Rzeczywiste układy drgające wprawione w ruch po pewnym czasie zatrzymują się pod wpływem oporów ruchu (np. oporów powietrza), chyba że działa się na nie siłą wymuszającą ruch, jak to jest w przypadku wahadeł zegarów wahadłowych. Uwzględnienie sił oporów ruchu lub sił wymuszających ruch prowadzi do równań wahadła tłumionego lub wymuszonego (por. Ruch harmoniczny tłumiony oraz Oscylator harmoniczny wymuszony)[21].

Historia

W XVII w. Galileusz w czasach swej młodości odkrył izochronizm wahadła, oraz że okres drgań zależy jako pierwiastek kwadratowy długości wahadła. Wykorzystywał wahadło do odmierzania czasu. W 1644 Marin Mersenne wyznaczył długość wahadła sekundowego (o okresie 2 sekund). Współczesny mu Stanisław Pudłowski proponował oprzeć miarę długości na zjawisku wahadła. W 1657 Huygens przedstawił i opatentował zegar wahadłowy; wynalazek szybko rozprzestrzenia się. W 1673 Huygens przedstawił teorię wahadła, w tym zależność okresu drgań wahadła od miejsca zawieszenia wahadła fizycznego (p. Jean Richer). W 1687 Isaac Newton w pracy Principia zauważył, że przyspieszenie ziemskie można wyrazić jako długość wahadła sekundowego. W 1737 Pierre Bouguer wykonał pomiary przyspieszenia ziemskiego między innymi w Andach. Zauważył, że do pomiaru przyspieszenia ziemskiego wygodniej jest określanie okresu wahania, a nie długości wahadła sekundowego. Używając wahadeł, porównał gęstość Ziemi z gęstością Kordylierów. Od 1735 Charles Marie de La Condamine prowadził eksperymenty z wahadłami, dopracowując i wykonując pomiar przyspieszenia ziemskiego w różnych miejscach. W 1792 we Francji długość wahadła sekundowego była proponowana jako jednostka długości. Pomysł nie został przyjęty w metrycznym systemie miar[22]. W latach 1825/27 Bessel udoskonalił układ pomiarowy oraz wprowadził układ optyczny do obserwacji ruchu wahadła. W 1817 Henry Kater skonstruował wahadło rewersyjne, dając impuls do dokładnych i bezwzględnych pomiarów przyspieszenia ziemskiego. W latach 1827–1840 Francis Baily skonstruował różne wahadła, w tym wahadło poruszające się w próżni[22].

Zobacz też

przyrządy będące wahadłami
wahadła
Inne

Uwagi

  1. Dla amplitudy wahań równej 6° okres drgań wydłuża się o 0,07% w stosunku do okresu drgań przy bardzo małym wychyleniu.
  2. Wielkość maksymalna kąta, dopuszczalna w tym przybliżeniu, zależy od założonej dopuszczalnej różnicy między wartością dokładną a przybliżoną.

Przypisy

  1. a b c d e f g h Resnick i Halliday 1999 ↓, s. 361–364.
  2. Huygens’ Clocks. [dostęp 2015-05-01].
  3. Królikowski i Rubinowicz 2012 ↓, s. 44.
  4. a b c Królikowski i Rubinowicz 2012 ↓, s. 91.
  5. Królikowski i Rubinowicz 2012 ↓, s. 97.
  6. Gaetan Kerschen, Douglas Adams, Alex Carrella: Topics in Nonlinear Dynamics, Volume 1. T. 1: Proceedings of the 31st IMAC, A Conference and Exposition on Structural Dynamics. ISBN 978-1-4614-6570-6.
  7. Kalkulator okresów drgań wahadła matematycznego dla dowolnej amplitudy. (ang.).
  8. a b Wróblewski i Zakrzewski 1976 ↓, s. 340–343.
  9. a b c d Kittel, Knight i Ruderman 1993 ↓, s. 256–257.
  10. Eric W. Weisstein, Elliptic Integral of the First Kind, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2015-04-25] (ang.).
  11. Oscillations and Fourier Analysis. [dostęp 2016-09-10].
  12. a b Alan Emmerson: Things Are Seldom What They Seem – Christiaan Huygens, the Pendulum and the Cycloid. [dostęp 2015-04-25].
  13. Marek Kordos: Pierwszy nowoczesny zegarmistrz. [dostęp 2015-05-10]. [zarchiwizowane z tego adresu (2007-07-09)].
  14. a b Landau i Lifszyc 2011 ↓, s. 41–46.
  15. Tai L. Chow: Classical Mechanics, Second Edition. CRC Press, 2013, s. 280–286. ISBN 978-1-4665-6998-0.
  16. Wróblewski i Zakrzewski 1984 ↓, s. 371.
  17. a b c Wróblewski i Zakrzewski 1984 ↓, s. 340–342.
  18. Eric W. Weisstein, Tautochrone Problem, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2015-04-25] (ang.).
  19. a b Wróblewski i Zakrzewski 1976 ↓, s. 171–172.
  20. Królikowski i Rubinowicz 2012 ↓, s. 64, 72.
  21. Królikowski i Rubinowicz 2012 ↓, s. 47–58.
  22. a b Victor F. Lenzen, Robert P. Multhauf. Development of Gravity Pendulums in the 19th Century. „On Science and Technology”. papers 34-44. On Science and Technology, Smithsonian Institution. 

Bibliografia

Linki zewnętrzne

Media użyte na tej stronie

Foucault-soleil.gif
Autor: Nbrouard, Licencja: CC-BY-SA-3.0
Animation of a fictitious pendulum of Foucault of 67 meters released at a distance of 50,25 meters (3/4 its length) in the east with a null speed. The rotation of the Earth is also exaggerated and corresponds to a rotation in 110 seconds. It corresponds to the view taken from the plane of oscillations: the terrestrial reference frame thus turns. But the shadow of a stick added at the center for ease of comprehension, rotates faster than the plane of oscillations. In this pseudo plan, the trace is not linear but corresponds to an ellipse. In this illustration, the pendulum is launched at noon at equinox. Thus the sun set is exactly six hours after the launch. Source of the Gnuplot animation is provided (GPL)
Pendulum 190deg.gif
Animation of a pendulum's movement when it has enough energy to make a full turn. The graphic above depicts the phase portrait.
Simple pendulum height.svg
Autor: Krishnavedala, Licencja: CC0
Geometrical diagram for the derivation of the height of a simple pendulum.
Pendulum 170deg.gif
Animation of a pendulum's movement with 170° angle for the starting position. The graphic above depicts the phase portrait.
Pendulum 90deg.gif
Animation of a pendulum's movement with 90° angle for the starting position. The graphic above depicts the phase portrait.
Pendulum 135deg.gif
Animation of a pendulum's movement with 135° angle for the starting position. The graphic above depicts the phase portrait.
Rownia tarcie.svg
Autor: 4C, Licencja: CC-BY-SA-3.0
Inclined plane - a simple tool, with friction / Równia pochyła - maszyna prosta, uwzględnione tarcie
Pendulum 45deg.gif
Animation of a pendulum's movement with 45° angle for the starting position. The graphic above depicts the phase portrait.
Pendulum 180deg.gif
Image representing the pendulum on its unstable equilibrium state.
Catedral Metropolitana, México D.F., México, 2013-10-16, DD 89.JPG
(c) Diego Delso, CC BY-SA 3.0
Metropolitan Cathedral, Mexico City, México
Pendulum.jpg
Diagram of a simple gravity pendulum.
Pendulum 220deg.gif
Animation of a pendulum's movement when it has enough energy to make a full turn. The graphic above depicts the phase portrait.
Pend-ampl.png
Oscillation of a pendulum, for "big" oscilations (amplitude = , black) and for "small" oscillations (amplitude = , grey).
Pendulum period.svg
Autor: Alessio Damato; thanks to John wayman, he let me notice a mistake in the code., Licencja: CC-BY-SA-3.0

A plot of the ratio between the actual period of a pendulum and the approximate value obtained for small angles, as a function of the amplitude. According to Pendulum (mathematics), the oscillation period for small angles is given by:

while the actual period for any angle is given by:

where:

so the ratio is given by:

and this is the function plotted in the graph. First, with the following Matlab code I created a file called pendulum_period.dat;

then, in order to plot it, I used the Gnuplot code.

This code creates a file called pendulum_period.svg. I heavily post-processed it with Inkscape.
Trajektorie eines Doppelpendels.gif
Autor: 100Miezekatzen, Licencja: CC BY-SA 3.0
Motion of the double compound pendulum
Pendulum phase portrait.svg
Autor: Krishnavedala, Licencja: CC BY-SA 4.0
Phase portrait of an undamped simple pendulum.

The latest revision of the image was created in python using the source code provided below.

The first revision of the image was plotted using with GNU Octave using gnuplot backend and saved as a standalone LaTeX file. The PDF generated was then converted to SVG using pdf2svg. The octave source file 'pendulumOde.m' is provided below for reference.
Pendulum 0deg.gif
Image representing the pendulum on its stable equilibrium state.
Moglfm1325 pendulo cicloidal.jpg
Péndulo cicloidal. Construcción de Huygens.
Tautochrone curve.gif
Autor:

Claudio Rocchini

rewritten by Geek3, Licencja: CC BY 2.5

A tautochrone curve is the curve for which the time taken by an object sliding without friction in uniform gravity to its lowest point is independent of its starting point. Here, four points at different positions reach the bottom at the same time.



In the graphic, s represents arc length, t represents time, and the blue arrows represent acceleration along the trajectory. As the points reach the horizontal, the velocity becomes constant, the arc length being linear to time.