Walec (bryła)

Walec kołowy prosty z zaznaczoną wysokością i promieniem

Walec jest bryłą geometryczną ograniczoną powierzchnią walcową i dwiema płaszczyznami nierównoległymi do jej tworzącej. Jeżeli płaszczyzny są prostopadłe do tworzącej, wówczas jest to walec prosty. Czasem definicja walca jest zawężona tylko do tego szczególnego przypadku – podstaw prostopadłych do powierzchni bocznej^[1].

Walec kołowy prosty jest bryłą geometryczną powstałą w wyniku obrotu prostokąta wokół jednego z jego boków. Podstawą walca oraz jego górną częścią jest koło, a jego szerokość jest w każdym miejscu taka sama.

Bryła ta jest w pewnym kartezjańskim układzie współrzędnych opisana jako zbiór punktów ${\displaystyle (x,y,z)}$ spełniających układ nierówności:

${\displaystyle {\begin{cases}x^{2}+y^{2}\leqslant r^{2}\\0\leqslant z\leqslant h\end{cases}}}$

zaś w pewnym układzie walcowym jako zbiór punktów ${\displaystyle (\rho ,\phi ,z)}$ spełniających układ nierówności:

${\displaystyle {\begin{cases}\rho \leqslant r\\0\leqslant z\leqslant h\end{cases}}}$

gdzie ${\displaystyle r>0}$ jest promieniem walca, zaś ${\displaystyle h>0}$ – jego wysokością.

Często walcem nazywa się też powierzchnię walcową, będącą przedłużeniem w nieskończoność powierzchni bocznej walca. Jej równanie: ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}.}$ Prosta przesuwającą się równolegle wzdłuż krzywej płaskiej (podstawy walca), która zakreśla powierzchnię walcową, nazywa się tworzącą walca.

Walcami określa się również inne bryły i powierzchnie, których podstawą może być jakakolwiek figura płaska. Najczęściej rozpatruje się przypadek, kiedy tą podstawą jest krzywa stożkowa: elipsa, hiperbola, lub parabola. Mówimy wówczas odpowiednio o walcu eliptycznym, hiperbolicznym i parabolicznym, przy czym jedynie pierwszy z nich może stanowić bryłę, a pozostałe dwa są powierzchniami nieskończonymi.

Podstawowe wzory

Niech:

• ${\displaystyle r}$ – promień podstawy walca,
• ${\displaystyle h}$ – wysokość walca.

Wzór na pole powierzchni podstawy walca kołowego prostego:

${\displaystyle P_{p}\ =\pi r^{2}}$

Wzór na pole powierzchni bocznej walca kołowego prostego:

${\displaystyle P_{b}\ =2\pi rh}$^[2]

Wzór na pole powierzchni całkowitej walca kołowego prostego:

${\displaystyle P_{c}\ =2P_{p}+P_{b}=2\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi r(r+h)}$^[2]

Wzór na objętość walca kołowego prostego:

${\displaystyle V\ =\pi r^{2}h}$^[2]

Zobacz też

• kula
• stożek
• walec eliptyczny
• wielościan
• beczka
• rura cylindryczna

Przypisy