Walec hiperboliczny

Grafika walca hiperbolicznego

Walec hiperboliczny – walec, w którym stałą krzywą jest hiperbola, a jego generatory są prostopadłe do płaszczyzny tejże hiperboli. Kwadryka w układzie współrzędnym jest opisana równaniem:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

Parametry

Powierzchnię prostokreślną walca można sparametryzować:

${\displaystyle x=asinh\ u}$

${\displaystyle y=bcosh\ u}$

${\displaystyle z=v}$

Krzywizna Gaussa

Miarą zakrzywienia powierzchni walca hiperbolicznego jest:

${\displaystyle K=0}$

${\displaystyle H=-{\frac {ab}{2(a^{2}cosh^{2}u+b^{2}sinh^{2}u)^{3/2}}}}$

Współczynniki ${\displaystyle K}$ i ${\displaystyle H}$ pomagają w dowodzeniu Theorema Egregium, czyli Twierdzenie wyborne (krzywizna powierzchni jest niezmiennikiem wszelkich przekształceń, które nie zmieniają odległości mierzonych na tej powierzchni)

Współczynniki pierwszego stopnia

Współczynniki Christoffela pierwszego stopnia dowolnej powierzchni Riemannowskiej można zdefiniować, posługując się współczynnikami ${\displaystyle E,\ F,\ G}$ i wzorem kwadryki, dzięki którym można zbadać krzywiznę w każdym punkcie półpłaszczyzny hiperbolicznej.

${\displaystyle E=a^{2}cosh^{2}u+b^{2}sinh^{2}u}$

${\displaystyle F=0}$

${\displaystyle G=1}$

Współczynniki drugiego stopnia

W przypadku współczynników Christoffela drugiego stopnia, trzeba posłużyć się współczynnikami ${\displaystyle e,\ f,\ g}$ i wzorem kwadryki.

${\displaystyle e=-{\frac {ab}{\sqrt {\ a^{2}cosh^{2}u+b^{2}sinh^{2}u}}}}$

${\displaystyle f=0}$

${\displaystyle g=0}$

Bibliografia

• W.H. Beyer: CRC Standard Mathematical Tables. CRC Press: Boca Raton, 1987. ISBN 210-211, 1987.
• D. Hilbert: Geometry and the Imagination. New York: Chelsea: Cohn-Vossen, 1999. ISBN 12, 1999.