Wartość oczekiwana
Wartość oczekiwana (wartość średnia, przeciętna, dawniej nadzieja matematyczna) – wartość określająca spodziewany wynik doświadczenia losowego. Wartość oczekiwana to inaczej pierwszy moment zwykły. Estymatorem wartości oczekiwanej rozkładu cechy w populacji jest średnia arytmetyczna.
Definicja formalna
Jeżeli jest zmienną losową na przestrzeni probabilistycznej o wartościach w to wartością oczekiwaną zmiennej losowej nazywa się liczbę
Zmienna dyskretna
W przypadku, gdy zmienna losowa ma rozkład dyskretny i przyjmuje tylko skończenie wiele wartości z prawdopodobieństwami wynoszącymi odpowiednio to z powyższej definicji wynika następujący wzór na wartość oczekiwaną [3]:
- [4].
Jeżeli zmienna przyjmuje nieskończenie, ale przeliczalnie wiele wartości, to we wzorze na jej wartość oczekiwaną występuje w miejsce (istnieje ona tylko wtedy, gdy szereg ten jest zbieżny bezwzględnie).
Własności
Jeśli jest zmienną losową o funkcji gęstości prawdopodobieństwa to jej wartość oczekiwana wynosi
Jeżeli jest funkcją mierzalną, to
Jeśli istnieją oraz to:
- gdzie jest funkcją stałą (wynika z jednorodności sumy/szeregu/całki),
- (wynika z liniowości sumy/szeregu/całki),
- jeżeli są niezależne, to
- jeżeli prawie wszędzie, to
W mechanice kwantowej
Pojęcie wartości oczekiwanej jest szeroko stosowane w mechanice kwantowej. Wartość oczekiwana obserwabli, której odpowiada operator dla stanu kwantowego układu opisywanego znormalizowaną funkcją falową wynosi gdzie całkowanie przebiega po wszystkich możliwych wartościach zmiennych układu.
W notacji Diraca wzór ten można zapisać:
Nieoznaczoność wartości oczekiwanej czyli wariancja wynosi
Przypisy
- ↑ J. Jakubowski , R. Sztencel , Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Warszawa 2010, s. 82 .
- ↑ J. Jakubowski , R. Sztencel , Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Warszawa 2010, s. 81 .
- ↑ Wartość oczekiwana, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-22] .
- ↑ J. Jakubowski , R. Sztencel , Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Warszawa 2010, s. 85 .
Bibliografia
- Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004. ISBN 83-89716-01-1.