Wartość skuteczna

Wartość skuteczna (ang. Root Mean Square, RMS – średnia kwadratowa) – statystyczna miara sygnału okresowo zmiennego (najczęściej dotyczy wielkości elektrycznych prądu i napięcia).

Wartość skuteczna prądu przemiennego jest taką wartością prądu stałego, która w ciągu czasu równemu okresowi prądu przemiennego spowoduje ten sam efekt cieplny, co dany sygnał prądu przemiennego (zmiennego).

Moc prądu stałego o wartości ${\displaystyle I}$ wydzielana na oporniku o rezystancji ${\displaystyle R}$:

(1) ${\displaystyle P=I^{2}R.}$

Tym samym energia wydzielona w ciągu okresu przez prąd stały:

(2) ${\displaystyle E=PT=I^{2}RT,}$

przy czym ${\displaystyle T}$ jest długością okresu.

Moc chwilowa prądu przemiennego wynosi:

(3) ${\displaystyle p=ui=i^{2}R=I^{2}(t)R.}$

Energia w ciągu okresu ${\displaystyle T}$:

(4) ${\displaystyle E=\int \limits _{t_{0}}^{t_{0}+T}{i^{2}(t)}R\;dt.}$

Szukana jest taka wartość prądu stałego, która wydzieliłaby tę samą energię, co prąd przemienny. Tym samym prawe strony równań (2) i (4) powinny być równe:

(5) ${\displaystyle I^{2}RT=\int \limits _{t_{0}}^{t_{0}+T}{i^{2}(t)}Rdt.}$

Przekształcając to równanie, dochodzi się do poszukiwanej wartości prądu stałego:

(6) ${\displaystyle I={\sqrt {{\frac {1}{T}}\int \limits _{t_{0}}^{t_{0}+T}{i^{2}(t)}dt}}.}$

Długość przedziału całkowania ${\displaystyle T}$ powinna być równa okresowi sygnału lub być jego całkowitą wielokrotnością.

Analogicznie dochodzi się do wartości skutecznej napięcia. Wartość skuteczna ${\displaystyle U_{S}}$ sygnału ${\displaystyle u(t)}$ jest to średnia wartość kwadratowa tego sygnału.

Dla sygnału sinusoidalnego o wartości maksymalnej ${\displaystyle I_{max}}$ zachodzi zależność:

(7) ${\displaystyle I={\frac {I_{max}}{\sqrt {2}}}.}$

Dla innych sygnałów (np. zniekształconych) ta zależność nie musi być spełniona.

Mierniki elektryczne podają zwykle wartość skuteczną sygnału (nie maksymalną). W prostszych rozwiązaniach jest ona wyliczana z zależności (7), a poprawny wynik otrzymywany jest jedynie dla przebiegów sinusoidalnych. Mierniki wyższej klasy pozwalają na pomiar wartości skutecznej przebiegów odkształconych, a obliczają ją z zależności (6). Mierniki takie są zwykle opisane jako „true RMS”, co oznacza, że mierzą rzeczywistą („prawdziwą”) wartość skuteczną, jednak są dużo droższe.

Relacja wartości skutecznej sygnału do jego średniej arytmetycznej ${\displaystyle {\bar {u}}}$ i odchylenia standardowego ${\displaystyle \sigma _{u}}$ jest następująca:

${\displaystyle u_{\mathrm {S} }^{2}={\bar {u}}^{2}+\sigma _{u}^{2}.}$

Zobacz też

• wartość chwilowa przebiegu czasowego
• wartość minimalna przebiegu czasowego
• wartość średnia przebiegu czasowego
• wartość szczytowa przebiegu czasowego
• parametry sygnału okresowego – porównanie wartości skutecznych dla kilku typów sygnałów okresowych
• napięcie skuteczne