Warunek Lipschitza

(c) Army1987 at en.wikipedia, CC BY-SA 3.0

Dla funkcji spełniającej warunek Lipschitza istnieje podwójny stożek (biały), którego wierzchołek można przesuwać wzdłuż wykresu funkcji, a wnętrze pozostaje rozłączne z tym wykresem.

Warunek Lipschitza – pewne wzmocnienie ciągłości jednostajnej funkcji. Intuicyjnie można powiedzieć, że własność ta oznacza, że szybkość zmian wartości funkcji jest ograniczona. Nazwa pochodzi od nazwiska matematyka niemieckiego Rudolfa Lipschitza.

Definicja

Funkcja ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ spełnia warunek Lipschitza ze stałą ${\displaystyle L,}$ gdy dla dowolnych ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} }$ zachodzi nierówność

${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|\leqslant L|x_{1}-x_{2}|.}$

Definicja ta naturalnie rozszerza się na funkcje określone pomiędzy przestrzeniami metrycznymi.

Niech ${\displaystyle (X,d),(Y,\sigma )}$ będą przestrzeniami metrycznymi. Funkcja ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ spełnia warunek Lipschitza ze stałą ${\displaystyle L,}$ gdy dla dowolnych ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$ zachodzi nierówność

${\displaystyle \sigma (f(x_{1}),f(x_{2}))\leqslant L\cdot d(x_{1},x_{2}).}$

Najmniejszą liczba ${\displaystyle L}$ dla której powyższa nierówność zachodzi dla wszelkich ${\displaystyle x_{2}\in X}$ (o ile istnieje) nazywana jest stałą Lipschitza funkcji ${\displaystyle f.}$ Funkcje spełniające warunek Lipschitza ze stałą ${\displaystyle L<1}$ nazywane są kontrakcjami.

Podstawowe własności

• Niech ${\displaystyle f\colon (a,b)\to \mathbb {R} }$ będzie funkcją różniczkowalną. Wówczas ${\displaystyle f}$ spełnia warunek Lipschitza ze stałą Lipschitza ${\displaystyle L}$ wtedy i tylko wtedy, gdy jej pochodna jest ograniczona przez ${\displaystyle L.}$

Dowód. Załóżmy, że ${\displaystyle f}$ spełnia warunek Lipschitza ze stałą ${\displaystyle L.}$ Niech ${\displaystyle x_{0}\in (a,b).}$ Wówczas dla ${\displaystyle x\in (a,b),x\neq x_{0}{:}}$

${\displaystyle \left|{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\right|={\frac {|f(x)-f(x_{0})|}{|x-x_{0}|}}\leqslant L.}$

Stąd ${\displaystyle |f'(x_{0})|\leqslant L.}$ By udowodnić przeciwną implikację, załóżmy, że ${\displaystyle |f'(x)|\leqslant L}$ dla wszelkich ${\displaystyle x\in (a,b).}$ Niech ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in (a,b).}$ Bez straty ogólności, można przyjąć, że ${\displaystyle x_{1}<x_{2}.}$ Z twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej wynika, że istnieje takie ${\displaystyle c\in (x_{1},x_{2}),}$ że

${\displaystyle f(x_{2})-f(x_{1})=f'(c)(x_{2}-x_{1}).}$

Ponieważ ${\displaystyle |f'(c)|\leqslant L,}$

${\displaystyle |f(x_{2})-f(x_{1})|=|f'(c)|\,|x_{2}-x_{1}|\leqslant L|x_{2}-x_{1}|,}$

co pokazuje, że ${\displaystyle f}$ spełnia warunek Lipschitza ze stałą ${\displaystyle L.}$

• Funkcja spełniająca warunek Lipschitza jest funkcją jednostajnie ciągłą.

Dowód. Niech ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ będzie funkcją spełniającą warunek Lipschitza ze stałą ${\displaystyle L.}$ Niech ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} }$ oraz niech dany będzie ${\displaystyle \varepsilon >0.}$ Gdy ${\displaystyle \delta =\varepsilon /L,}$ to ${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|\leqslant L|x_{1}-x_{2}|\leqslant L\varepsilon /L=\varepsilon }$ o ile tylko ${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|\leqslant \delta .}$ Rozumowanie to przenosi się mutatis mutandis na funkcje lipschitzowskie działające pomiędzy dowolnymi przestrzeniami metrycznymi.

• Niech ${\displaystyle (\Omega ,\mu )}$ będzie przestrzenią z miarą oraz niech ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ będzie ciągiem funkcji rzeczywistych na ${\displaystyle \Omega .}$ Jeżeli ciąg ten jest zbieżny według miary do pewnej funkcji ${\displaystyle f}$ oraz funkcja ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ spełnia warunek Lipschitza, to ciąg ${\displaystyle (g\circ f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jest zbieżny według miary do ${\displaystyle g\circ f.}$

Przykłady

• Funkcja ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ dana wzorem

${\displaystyle f(x)={\sqrt {x^{2}+5}}}$

spełnia warunek Lipschitza ze stałą ${\displaystyle L=1.}$ Rzeczywiście, dla ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ,x\neq y,}$ zachodzi

${\displaystyle |f(x)-f(y)|=|{\sqrt {x^{2}+5}}-{\sqrt {y^{2}+5}}|={\Big |}{\tfrac {x^{2}+5-y^{2}-5}{{\sqrt {x^{2}+5}}+{\sqrt {y^{2}+5}}}}{\Big |}\leqslant {\Big |}{\tfrac {(|x|+|y|)(|x|-|y|)}{{\sqrt {x^{2}}}+{\sqrt {y^{2}}}}}{\Big |}\leqslant |x-y|.}$

• Funkcja ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ dana wzorem ${\displaystyle f(x)=|x|}$ jest funkcją nieróżniczkowalną spełniającą warunek Lipschitza ze stałą ${\displaystyle L=1.}$
• Funkcja ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ dana wzorem ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ nie spełnia warunku Lipschitza, bo nie jest jednostajnie ciągła.
• Niech ${\displaystyle a<b.}$ Funkcja ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ dana wzorem ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ spełnia warunek Lipschitza ze stałą ${\displaystyle L=2|b|,}$ gdy ${\displaystyle |b|\leqslant |a|}$ oraz ze stałą ${\displaystyle L=2|a|,}$ gdy ${\displaystyle |a|\leqslant |b|.}$

Twierdzenia dotyczące warunku Lipschitza

• twierdzenie Kirszbrauna
• twierdzenie Picarda
• twierdzenie Rademachera