Warunkowa wartość oczekiwana

Warunkowa wartość oczekiwana – podstawowe pojęcie rachunku prawdopodobieństwa. Jest to odmiana tradycyjnego pojęcia wartości oczekiwanej, znanej czy to z rachunku prawdopodobieństwa, czy to ze statystyki. Różnica jest taka, że obliczamy ją pod warunkiem, że pewne zdarzenie już zaszło, a więc zamiast standardowego prawdopodobieństwa używamy prawdopodobieństwa warunkowego.

Założenia

Niech będzie przestrzenią probabilistyczną z zadanym na niej prawdopodobieństwem warunkowym Niech również będzie zmienną losową,

gdzie jest mierzalna

jest zdarzeniem takim, że

Definicje

  • Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej X pod warunkiem zdarzenia A nazywamy liczbę:

Jednak znacznie poręczniejszy w użyciu jest następujący, równoważny wzór:

  • Niech będzie σ-ciałem. Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej X pod warunkiem σ-ciała nazywamy zmienną losową spełniającą warunki:

1) jest -mierzalna,

2) dla dowolnego

Dla dowolnego σ-ciała i zmiennej losowej całkowalnej istnieje i jest ona wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do zdarzeń o prawdopodobieństwie zero.

  • Szczególny przypadek poprzedniego.

Niech gdzie i niech Wówczas warunkowa wartość oczekiwana pod warunkiem σ-ciała jest równa:

Spełnia ona oba warunki warunkowej wartości oczekiwanej pod warunkiem σ-ciała.

Własności

Niech i niech będzie σ-ciałem. Wówczas:

  • Jeśli jest -mierzalna, to
  • Dla dowolnego mamy:
  • Jeśli jest niezależna od (tzn. σ i są niezależne), to:
  • Jeśli jest ograniczoną zmienną -mierzalną, to:

Zobacz też

Literatura

  • J. Jakubowski, R. Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Wyd. III. ISBN 83-89716-01-1.