Wektor styczny

Linia styczna do krzywej w punkcie oznaczonym czerwoną kropką. Wszystkie wektory styczne do krzywej w tym punkcie leżą na tej prostej, tworząc przestrzeń styczną 1-wymiarową.

Płaszczyzna styczna do powierzchni sferycznej. Wszystkie wektory styczne do tej powierzchni w danym punkcie leżą na tej płaszczyźnie, tworząc przestrzeń styczną 2-wymiarową.

Wektor styczny to wektor o kierunku wyznaczonym przez styczną do:

• krzywej,
• powierzchni lub
• hiperpowierzchni
  

poprowadzoną w danym punkcie przestrzeni euklidesowej w ogólności n-wymiarowej. Wektory styczne w sposób analityczny opisuje geometria różniczkowa.

W ogólniejszym kontekście wektory styczne są elementami przestrzeni stycznej, jaką można zdefiniować dla każdego punktu rozmaitości różniczkowej (euklidesowej, pseudoeuklidesowej, riemannowskiej, pseudoriemannowskiej).

• Dla linii krzywej wektory te należą do prostej stycznej do tej krzywej w danym jej punkcie i tworzą przestrzeń styczną 1-wymiarową.
• Dla powierzchni 2D wektory te leżą na płaszczyźnie stycznej do tej powierzchni w danym jej punkcie i tworzą przestrzeń styczną 2-wymiarową.
• Dla hiperpowierzchni (N-1)-wymiarowej zanurzonej w przestrzeni euklidesowej N-wymiarowej, wektory styczne leżą na tej stycznej hiperpowierzchni euklidesowej (N-1)-wymiarowej i tworzą przestrzeń styczną (N-1)-wymiarową.

Wektory styczne do powierzchni 2D

(1) Dwuwymiarową powierzchnię ${\displaystyle H}$ można opisać za pomocą dwóch niezależnych od siebie parametrów ${\displaystyle u,v}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{matrix}x=x(u,v)\\y=y(u,v)\\z=z(u,v)\end{matrix}}\end{cases}},\qquad {\vec {r}}(x,y,z)={\vec {r}}(u,v).}$

Parametry te określają siatkę współrzędnych krzywoliniowych na powierzchni ${\displaystyle H.}$

(2) Istnieją dwa szczególne wektory styczne ${\displaystyle {\vec {s}}_{u}}$ oraz ${\displaystyle {\vec {s}}_{v}}$ do powierzchni ${\displaystyle H}$ – są to wektory styczne odpowiednio do krzywych ${\displaystyle v={\text{const}}=v_{0}}$ oraz ${\displaystyle u={\text{const}}=u_{0},}$ przecinających się punkcie ${\displaystyle P}$ o wektorze wodzącym ${\displaystyle {\vec {r}}(u_{0},v_{0}).}$

Współrzędne wektorów ${\displaystyle {\vec {s}}_{u},{\vec {s}}_{v}}$ oblicza się jako pochodne funkcji ${\displaystyle x,y,z}$ względem parametrów ${\displaystyle u}$ oraz ${\displaystyle v{:}}$

${\displaystyle {\vec {s}}_{u}=\left[{\frac {\partial x}{\partial u}},{\frac {\partial y}{\partial u}},{\frac {\partial z}{\partial u}}\right]_{u=u_{0},v=v_{0}},}$

${\displaystyle {\vec {s}}_{v}=\left[{\frac {\partial x}{\partial v}},{\frac {\partial y}{\partial v}},{\frac {\partial z}{\partial v}}\right]_{u=u_{0},v=v_{0}},}$

gdzie ${\displaystyle u_{0},v_{0}}$ to wartości parametrów ${\displaystyle u,v}$ wyznaczające punkt ${\displaystyle P(x_{0},y_{0},z_{0}),}$ czyli:

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{matrix}x_{0}=x(u_{0},v_{0})\\y_{0}=y(u_{0},v_{0})\\z_{0}=z(u_{0},v_{0})\end{matrix}}\end{cases}}.}$

(3) W skrócie wektory te można zapisać następująco:

${\displaystyle {\vec {s}}_{u}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u}}{\Big |}_{u=u_{0},v=v_{0}},}$

${\displaystyle {\vec {s}}_{v}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial v}}{\Big |}_{u=u_{0},v=v_{0}},}$

gdzie ${\displaystyle {\vec {r}}(u,v)={\vec {r}}[x(u,v),y(u,v),z(u,v)]}$ jest wektorem wodzącym punktu ${\displaystyle P}$ na powierzchni ${\displaystyle H.}$

(4) Dowolny wektor styczny ${\displaystyle {\vec {s}}}$ do powierzchni ${\displaystyle H}$ w jej punkcie ${\displaystyle P(x_{0},y_{0},z_{0})}$ wyraża się w postaci pewnej kombinacji liniowej wektorów stycznych ${\displaystyle {\vec {s}}_{u}}$ oraz ${\displaystyle {\vec {s}}_{v},}$ tj.

${\displaystyle {\vec {s}}=a_{u}{\vec {s}}_{u}+a_{v}{\vec {s}}_{v}.}$

Wektory ${\displaystyle {\vec {s}}_{u}}$ oraz ${\displaystyle {\vec {s}}_{v}}$ stanowią więc bazę płaszczyzny stycznej do powierzchni danej równaniem

${\displaystyle {\vec {R}}={\vec {r}}(u_{0},v_{0})+a_{u}{\vec {s}}_{u}+a_{v}{\vec {s}}_{v}.}$

Przykład: Wektory styczne do sfery

Dla sfery o promieniu ${\displaystyle r}$ można wprowadzić parametryzację za pomocą kątów ${\displaystyle \phi ,\theta }$ współrzędnych sferycznych.

(1) Współrzędne kartezjańskie ${\displaystyle x,y,z}$ są wyrażone przez współrzędne sferyczne wzorami

${\displaystyle x=r\,\sin \theta \,\cos \phi ,}$

${\displaystyle y=r\,\sin \theta \,\sin \phi ,}$

${\displaystyle z=r\,\cos \theta .}$

(2) Wektory styczne mają postać:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {s}}_{\theta }&={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \theta }}=\left[{\frac {\partial x}{\partial \theta }},{\frac {\partial y}{\partial \theta }},{\frac {\partial z}{\partial \theta }}\right]\\[2px]&=[r\cos \theta \cos \phi ,r\cos \theta \sin \phi ,-r\sin \theta ],\\[1em]{\vec {s}}_{\phi }&={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial \phi }}=\left[{\frac {\partial x}{\partial \phi }},{\frac {\partial y}{\partial \phi }},{\frac {\partial z}{\partial \phi }}\right]\\[2px]&=[-r\sin \theta \sin \phi ,r\sin \theta \cos \phi ,0].\end{aligned}}}$

(3) Dowolny wektor styczny do sfery w punkcie ${\displaystyle P(\theta ,\phi )}$ wyraża się w postaci kombinacji liniowej wektorów stycznych ${\displaystyle {\vec {s}}_{\theta }}$ oraz ${\displaystyle {\vec {s}}_{\phi },}$ tj.

${\displaystyle {\vec {s}}(\theta ,\phi )=a_{\theta }{\vec {s}}_{\theta }+a_{\phi }{\vec {s}}_{\phi }.}$

Np. dla ${\displaystyle \theta =\pi /2,}$ ${\displaystyle \phi =0}$ mamy punkt ${\displaystyle P(x_{0},y_{0},z_{0})=[r,0,0]}$ leżący na osi ${\displaystyle x}$ układu współrzędnych oraz wektory bazowe styczne

${\displaystyle {\vec {s}}_{\theta }=[0,0,-r],}$

${\displaystyle {\vec {s}}_{\phi }=[0,r,0]}$

i wektory styczne mają postać

${\displaystyle {\vec {s}}=a_{\theta }{\vec {s}}_{\theta }+a_{\phi }{\vec {s}}_{\phi }=a_{\theta }[0,0,-r]+a_{\phi }[0,r,0].}$

(4) Wektory te wyznaczają płaszczyznę styczną do sfery o promieniu ${\displaystyle r}$ w punkcie ${\displaystyle \theta =\pi /2,}$ ${\displaystyle \phi =0}$ i równaniu

${\displaystyle {\vec {R}}=P(x_{0},y_{0},z_{0})+a_{\theta }{\vec {s}}_{\theta }+a_{\phi }{\vec {s}}_{\phi }=r[1,a_{\phi },-a_{\theta }].}$

Widać, że płaszczyzna ta ma stałą współrzędną ${\displaystyle x}$-ową równą 1 i jest równoległa do płaszczyzny pionowej ${\displaystyle yz.}$

Wektor styczny do krzywej w ${\displaystyle R^{3}}$

Krzywą w przestrzeni ${\displaystyle R^{3}}$ można opisać za pomocą jednego parametru ${\displaystyle u}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{matrix}x=x(u)\\y=y(u)\\z=z(u)\end{matrix}}\end{cases}}.}$

(Analogiczne zależności są słuszne dla krzywej w przestrzeni n-wymiarowej).

Parametr ${\displaystyle u}$ wyznacza linię współrzędnej krzywoliniowej w przestrzeni ${\displaystyle R^{3}.}$ Wektor styczny ${\displaystyle {\vec {s}}_{u}}$ do krzywej w danym punkcie ${\displaystyle P(x_{0},y_{0},z_{0})}$ otrzymuje się, obliczając pochodne funkcji ${\displaystyle x,y,z}$ względem parametru ${\displaystyle u{:}}$

${\displaystyle {\vec {s}}_{u}=\left[{\frac {\partial x}{\partial u}},{\frac {\partial y}{\partial u}},{\frac {\partial z}{\partial u}}\right]_{u=u_{0}},}$

gdzie ${\displaystyle u_{0}}$ to wartości parametru ${\displaystyle u}$ wyznaczające punkt ${\displaystyle P(x_{0},y_{0},z_{0}),}$ czyli:

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{matrix}x_{0}=x(u_{0})\\y_{0}=y(u_{0})\\z_{0}=z(u_{0})\end{matrix}}\end{cases}}.}$

W skrócie wektor styczny można zapisać następująco:

${\displaystyle {\vec {s}}_{u}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u}}{\Big |}_{u=u_{0}},}$

gdzie ${\displaystyle {\vec {r}}(u)=(x(u),y(u),z(u))}$ jest wektorem wodzącym punktu ${\displaystyle P}$ krzywej.

Wektor ten wyznacza prostą styczną do krzywej w punkcie ${\displaystyle P(x_{0},y_{0},z_{0})}$ o równaniu

${\displaystyle {\vec {R}}=P(x_{0},y_{0},z_{0})+a_{u}{\vec {s}}_{u}.}$

Przykład: Wektor styczny do krzywej w ${\displaystyle R^{3}}$

Krzywa w przestrzeni ${\displaystyle R^{3}}$ dana jest równaniem parametrycznym

${\displaystyle {\vec {r}}(u)=[1+u^{2},e^{2u},\cos {u}],}$ ${\displaystyle u\in R,}$

Wektor styczny o długości jednostkowej dla ${\displaystyle u=0}$ ma postać ${\displaystyle {\vec {s}}(0)=\left.{\frac {\frac {d{\vec {r}}}{du}}{|{\frac {d{\vec {r}}}{du}}|}}\right|_{u=0}=\left.{\frac {[2u,2e^{2u},\ -\sin {u}]}{\sqrt {4u^{2}+4e^{4u}+\sin ^{2}{u}}}}\right|_{u=0}=[0,1,0].}$

Wektor ten wyznacza kierunek prostej stycznej do krzywej w punkcie ${\displaystyle {\vec {r}}(x_{0},y_{0},z_{0})=[1,1,1]}$ o równaniu

${\displaystyle {\vec {R}}={\vec {r}}(x_{0},y_{0},z_{0})+a_{u}{\vec {s}}_{u}=[1,1,1]+a_{u}[0,1,0].}$

Wektor styczny do krzywej w przestrzeni ${\displaystyle R^{n}}$

Współrzędne kartezjańskie

(1) Jeżeli w przestrzeni ${\displaystyle R^{n}}$ dany jest układ współrzędnych kartezjańskich, to krzywa może być zadana za pomocą równania parametrycznego ${\displaystyle {\vec {r}}(u)}$

${\displaystyle {\vec {r}}(u)=[x^{1}(u),x^{2}(u),\dots ,x^{n}(u)],}$ ${\displaystyle {}\quad a\leqslant u\leqslant b.}$

(2) Współrzędne ${\displaystyle T^{i}}$ wektora stycznego do krzywej wyznacza się, licząc pochodne współrzędnych wektora wodzącego krzywej po parametrze ${\displaystyle u}$

${\displaystyle T^{i}={\frac {dx^{i}}{du}}.}$

Współrzędne krzywoliniowe

W układzie współrzędnych krzywoliniowych

${\displaystyle q^{i}=q^{i}(x^{1},x^{2},\dots ,x^{n}),\quad i=1,\dots ,n}$

mamy wzory analogiczne jak w układzie kartezjańskim:

(1) krzywa jest zadana równaniem parametrycznym

${\displaystyle q^{i}=q^{i}(u).}$

(2) wektor styczny ${\displaystyle T^{\,'i}}$ oblicza się, licząc pochodną współrzędnych ${\displaystyle q^{i}}$ parametrze^[1]

${\displaystyle T^{\,'i}={\frac {dq^{i}}{dt}},}$

przy tym należy pamiętać, iż współrzędne powyższe ma wektor w tzw. bazie naturalnej (por. współrzędne krzywoliniowe).

Dowód:

Wektor styczny jest wektorem kontrawariantnym (jako iloraz różniczki współrzędnych przez różniczkę parametru, który jest niezmiennikiem transformacji współrzędnych). Wektor kontrawariantny przy przejściu z jednego układu (tu kartezjańskiego) na inny (tu krzywoliniowy) transformuje się wg prawa^[2]

${\displaystyle T^{\,'i}={\frac {\partial q^{i}}{\partial x^{s}}}T^{s}.}$

Podstawiając ${\displaystyle T^{s}={\frac {dx^{s}}{du}},}$ otrzymamy

${\displaystyle T^{\,'i}={\frac {\partial q^{i}}{\partial x^{s}}}{\frac {dx^{s}}{du}}.}$

Jednocześnie wiadomo, że zachodzi zależność między różniczkami w starym i nowym układzie

${\displaystyle {\frac {dq^{i}}{dt}}={\frac {\partial q^{i}}{\partial x^{s}}}{\frac {dx^{s}}{dt}}.}$

Porównując dwa ostatnie wzory, widać, że musi zachodzić ${\displaystyle T^{\,'i}={\frac {dq^{i}}{dt}},}$ cnd.

Zobacz też

• linia geodezyjna
• przestrzeń styczna
• styczna
• wektor normalny

Przypisy

Bibliografia

• Witold Kołodziej, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009.
• Tadeusz Trajdos, Matematyka, cz. III, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2012, s. 254–261.

Literatura dodatkowa

• David Kay: Schaums Outline of Theory and Problems of Tensor Calculus. New York: McGraw-Hill, 1988.