Wektor zerowy

Wektor zerowy – wektor przestrzeni liniowej pełniący rolę elementu neutralnego dodawania wektorów; zapisywany zwykle symbolem zera, ${\displaystyle 0,}$ często dodatkowo wyróżnionym, np. wytłuszczeniem ${\displaystyle \mathbf {0} ,}$ czy strzałką ${\displaystyle {\vec {0}}.}$ Przestrzeń zerowa (trywialna) to najmniejsza w sensie zawierania przestrzeń liniowa – zawiera ona wyłącznie wektor zerowy, którego istnienie w dowolnej przestrzeni liniowej postulowane jest w jej aksjomatach. Przeciwobraz wektora zerowego (przestrzeni zerowej) w przekształceniu liniowym nazywa się jądrem tego przekształcenia.

W dalszej części artykułu pierwszy symbol będzie oznaczał element neutralny dodawania w ciele (skalar zerowy), drugi – w przestrzeni liniowej (wektor zerowy).

Własności

Przestrzeń liniową można scharakteryzować jako grupę abelową (tzn. grupę z działaniem przemiennym) ze zgodnym z nim działaniem mnożenia przez skalar; element neutralny działania definiuje się jako taki wektor ${\displaystyle \mathbf {0} ,}$ który dla każdego elementu ${\displaystyle \mathbf {x} }$ tej przestrzeni spełnia

${\displaystyle \mathbf {x+0} =\mathbf {0+x} =\mathbf {x} ,}$

przy czym w grupie element ten jest wyznaczony jednoznacznie i służy zdefiniowaniu wektora przeciwnego do danego (jako wektora, który w sumie z danym daje wektor zerowy). Zgodnie z aksjomatami przestrzeni liniowej dla dowolnego wektora ${\displaystyle \mathbf {x} }$ oraz skalara (elementu z ciała) ${\displaystyle a}$ zachodzą tożsamości:

${\displaystyle 0\mathbf {x} =\mathbf {0} }$

oraz

${\displaystyle a\mathbf {0} =\mathbf {0} .}$

Z pierwszej z nich na mocy zasady indukcji dla dowolnego układu wektorów ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n}}$ można uzyskać, iż

${\displaystyle a_{1}\mathbf {x} _{1}+\dots +a_{n}\mathbf {x} _{n}=\mathbf {0} ,}$

o ile tylko ${\displaystyle a_{1}=\dots =a_{n}=0;}$ z drugiej jednak strony, jeśli jest to jedyny układ skalarów o tej własności, to układ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n}}$ nazywa się niezależnym (w przeciwnym przypadku mówi się, że jest zależny). Druga tożsamość mówi więc, że układ złożony z wektora zerowego jest zależny. Ponieważ dowolny układ zawierający podukład zależny jest zależny, to wynika stąd, że każdy układ zawierający wektor zerowy jest zależny.

Dodatkowe struktury

W przestrzeniach współrzędnych (przestrzenie liniowe z wybraną bazą uporządkowaną) wektor zerowy to wektor o wszystkich składowych równych zeru, czyli ${\displaystyle (0,\dots ,0).}$ W przestrzeniach afinicznych wektor zerowy wyznaczany jest przez dowolny punkt ${\displaystyle \mathrm {p} }$ tej przestrzeni jako ${\displaystyle \mathrm {p} -\mathrm {p} ={\overrightarrow {\mathrm {pp} }}.}$ W przestrzeni liniowej z normą jedynym wektorem o normie równej zero jest wektor zerowy. W przestrzeniach liniowych z półnormą wektorem zerowym nazywa się dowolny wektor o zerowej półnormie; w przestrzeni Minkowskiego dla odróżnienia od jedynego wektora o wszystkich współrzędnych zerowych wektor o zerowej normie Minkowskiego nazywa się też wektorem światłopodobnym. W przestrzeniach unitarnych (tzn. przestrzeniach liniowych z iloczynem skalarnym) zachodzi ${\displaystyle \langle \mathbf {0} ,\mathbf {x} \rangle =\langle \mathbf {x} ,\mathbf {0} \rangle =0,}$ skąd również ${\displaystyle 0\langle \mathbf {\mathbf {x} } ,\mathbf {y} \rangle =0}$ dla dowolnych wektorów ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} .}$