Wektory i wartości własne

Ten artykuł należy dopracować: wygładzić połączony artykuł; przejść od intuicji przez algebrę liniową po analizę funkcjonalną. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Wektory i wartości własne – wielkości opisujące endomorfizm danej przestrzeni liniowej; wektor własny przekształcenia można rozumieć jako wektor, którego kierunek nie ulega zmianie po przekształceniu go endomorfizmem; wartość własna odpowiadająca temu wektorowi to skala podobieństwa tych wektorów.

Najczęściej przekształcenie liniowe wyraża się jako macierz, która działa na wektory; wówczas stosuje się nazwy wektor własny macierzy^[1], wartość własna macierzy. W innych teoriach przekształcenia i elementy przestrzeni liniowej mogą mieć inne nazwy. Mówi się wtedy przykładowo o stanach własnych operatora, funkcjach własnych funkcjonału itp.

Definicje

Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem ${\displaystyle K,}$ zaś ${\displaystyle \mathrm {T} }$ oznacza pewien jej endomorfizm, tzn. przekształcenie liniowe tej przestrzeni w siebie. Jeśli dla pewnego niezerowego wektora ${\displaystyle x}$ przestrzeni spełniony jest warunek

${\displaystyle \mathrm {T} x=\lambda x,}$

gdzie ${\displaystyle \lambda }$ jest pewnym skalarem, to ${\displaystyle x}$ nazywa się wektorem własnym^[2], a ${\displaystyle \lambda }$ nazywa się wartością własną przekształcenia ${\displaystyle \mathrm {T} }$^[3].

Danej wartości własnej ${\displaystyle \lambda }$ operatora ${\displaystyle \mathrm {T} }$ odpowiada zbiór

${\displaystyle X_{\lambda }(T)=\{x\in X\colon Tx=\lambda x\},}$

który jest podprzestrzenią liniową przestrzeni ${\displaystyle X.}$ Jest ona nazywana podprzestrzenią własną odpowiadającą wartości własnej ${\displaystyle \lambda ,}$ gdyż jest ona zamknięta ze względu na działanie operatora ${\displaystyle \mathrm {T} .}$ Jej wymiar nazywa się wielokrotnością lub krotnością geometryczną wartości własnej ${\displaystyle \lambda .}$

Często zakłada się, że ${\displaystyle K}$ jest ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych, zaś na ${\displaystyle X}$ określona jest topologia liniowa. W zastosowaniach (np. równania różniczkowe) bada się często wartości własne operatorów liniowych określonych na przestrzeniach Banacha, Hilberta itp. W dalszej części artykułu będziemy zakładać ogólnie, że ${\displaystyle X}$ jest pewną przestrzenią Banacha, a ${\displaystyle \mathrm {T} \colon X\to X}$ jest ustalonym operatorem liniowym i ciągłym.

Własności

• Jeżeli ${\displaystyle \mathrm {T} }$ jest samosprzężonym operatorem liniowym na przestrzeni Hilberta ${\displaystyle X,}$ to wartości własne tego operatora są rzeczywiste, ponadto wektory własne, odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne.
• Jeżeli ${\displaystyle \lambda \in K}$ jest wartością własną operatora ${\displaystyle \mathrm {T} ,}$ to ${\displaystyle |\lambda |\leqslant \|\mathrm {T} \|}$ (założenie zupełności przestrzeni jest tu nieistotne).
• Liczba ${\displaystyle \lambda \in K}$ jest wartością własną operatora ${\displaystyle \mathrm {T} }$ wtedy i tylko wtedy, gdy operator ${\displaystyle \mathrm {T} _{\lambda }=\lambda I-T}$ nie jest różnowartościowy.
• Wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym są liniowo niezależne.
• Jeśli macierz ${\displaystyle \mathbf {A} }$ potraktować jako macierz przekształcenia liniowego pewnej przestrzeni liniowej ${\displaystyle V,}$ to wektory własne odpowiadające tej samej wartości własnej tworzą podprzestrzeń.
• Jeśli suma wymiarów podprzestrzeni z powyższej własności jest równa wymiarowi ${\displaystyle V,}$ to wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym tworzą bazę tej przestrzeni.

Przykłady

Przestrzenie skończenie wymiarowe

Przekształcenie liniowe ${\displaystyle \mathrm {A} }$ skończenie wymiarowych przestrzeni liniowych z ustalonymi bazami można przedstawić za pomocą macierzy ${\displaystyle \mathbf {A} }$ nazywanej macierzą przekształcenia liniowego.

Endomorfizmowi ${\displaystyle \mathrm {A} }$ na skończeniewymiarowej przestrzeni ${\displaystyle X}$ odpowiada macierz kwadratowa ${\displaystyle \mathbf {A} ,}$ a jego wartości własne ${\displaystyle w_{\mathbf {A} }(\lambda )}$ są pierwiastkami wielomianu charakterystycznego tej macierzy.

${\displaystyle w_{\mathbf {A} }(\lambda )=\det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} ),}$

gdzie ${\displaystyle \mathbf {I} }$ jest macierzą jednostkową.

Mając wartości własne ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}}$ można obliczyć odpowiadające im wektory własne ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n}}$ rozwiązując równania postaci

${\displaystyle (\mathbf {A} -\lambda _{i}\mathbf {I} )\cdot \mathbf {x} _{i}=0}$

ze względu na wektory ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}.}$

Zbiór wszystkich wartości własnych operatora tworzy widmo punktowe operatora; w szczególności, gdy operator jest reprezentowany przez macierz, to mówi się o widmie macierzy. Jeżeli macierz ${\displaystyle \mathbf {A} }$ jest symetryczna, to wszystkie jej wartości własne są liczbami rzeczywistymi. Transponowanie macierzy nie zmienia jej wartości własnych.

Równanie całkowe jednorodne Fredholma

Niech ${\displaystyle X=L^{2}(a,b)}$ będzie przestrzenią funkcji całkowalnych z kwadratem w sensie Lebesgue’a na przedziale ${\displaystyle (a,b)}$ oraz niech ${\displaystyle K(s,t)}$ będzie funkcją całkowalną z kwadratem w zbiorze

${\displaystyle Q=(a,b)\times (a,b).}$

Można wykazać, że odwzorowanie ${\displaystyle \mathrm {T} \colon X\to X,}$ dane wzorem

${\displaystyle (Tx)(s)=\int \limits _{a}^{b}K(s,t)x(t)dt,}$

jest operatorem liniowym i ciągłym, przy czym, gdy ${\displaystyle K(s,t)={\overline {K(t,s)}},}$ to ${\displaystyle \mathrm {T} }$ jest operatorem samosprzężonym, a zatem ma wyłącznie rzeczywiste wartości własne.

Zobacz też

• diagonalizacja
• postać Jordana
• równanie własne
• wartość własna układu

Przypisy

Bibliografia

• Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976.