Widmo (matematyka)

Widmo (elementu algebry) – dla danego elementu ${\displaystyle a}$ (zwykle zespolonej) algebry z jedynką ${\displaystyle A,}$ zbiór

${\displaystyle \sigma _{A}(a)=\{\lambda \in \mathbb {C} :\lambda e_{A}-a\notin {\mbox{GL}}(A)\},}$

przy czym ${\displaystyle \mathrm {GL} (A)}$ oznacza grupę elementów odwracalnych w algebrze ${\displaystyle A}$ oraz ${\displaystyle e_{A}}$ jedynkę w tej algebrze. Widmo definiuje się także dla elementów algebr, które nie mają jedynki, traktując dany element jako element algebry po dołączeniu jedynki.

Widmo elementu a w pewnej algebrze A oznacza się również symbolem ${\displaystyle \sigma (a),}$ jeżeli z góry wiadomo o jakiej algebrze jest mowa. Często, pod pojęciem widma rozumie się widmo operatora ograniczonego na pewnej przestrzeni Banacha ${\displaystyle E,}$ traktowanego jako element algebry Banacha wszystkich operatorów ograniczonych na ${\displaystyle E.}$ Definicja widma ma również sens dla nieograniczonych operatorów domykalnych (określonych, na przykład, na gęstych podprzestrzeniach danej przestrzeni Banacha).

Własności

• Widmo każdego elementu dowolnej zespolonej algebry Banacha jest niepustym i zwartym podzbiorem płaszczyzny zespolonej.
• Algebra Banacha jest skończenie wymiarowa wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element ma skończone widmo^[1].
• Zachodzi następujący wzór Gelfanda (poniżej, ${\displaystyle \nu _{A}(a)}$ oznacza promień spektralny elementu ${\displaystyle a}$ danej algebry Banacha ${\displaystyle A}$):

${\displaystyle \nu _{A}(a)=\max\{|\lambda |\colon \lambda \in \sigma _{A}(a)\}.}$

• Dla każdego zwartego podzbioru płaszczyzny zespolonej istnieje operator ograniczony na przestrzeni Hilberta, którego jest on widmem (ogólniej, taki zbiór istnieje dla każdej przestrzeni Banacha, która zawiera nieskończenie wymiarową komplementarną podprzestrzeń z bezwarunkową bazą Schaudera). Istnieją przestrzenie Banacha dla których podobne stwierdzenie jest jednak fałszywe, na przykład, zespolone przestrzenie dziedzicznie nierozkładalne (tzw. przestrzeni HI), na przykład przestrzeń Gowersa-Maurey'a^[2].

Zobacz też

• degeneracja widma
• twierdzenie spektralne

Przypisy