Wielościan dualny

Bryłą dualną względem sześcianu jest ośmiościan foremny^[1].

Dwunastościan rombowy (czarne krawędzie) i dualny z nim sześcio-ośmiościan (zielone krawędzie).

Wielościan dualny W' do wielościanu W to wielościan skonstruowany w następujący sposób:

• W środku masy każdej ściany W umieszczamy wierzchołek W'.
• Jeśli dwie ściany W miały wspólną krawędź, ich środki łączymy krawędzią w W'.
• Wypełniamy powstałe brzegi wielokątów ścianami, a ograniczoną przez nie przestrzeń wnętrzem wielościanu W'.
• Powiększamy proporcjonalnie cały wielościan W' tak aby średnia odległość wierzchołków od jego środka masy była identyczna jak w przypadku W.

Wielościan W' ma:

• tyle samo krawędzi co W;
• tyle wierzchołków, ile W ma ścian;
• tyle ścian, ile W miał wierzchołków.

Wielościan dualny do W' to ponownie wielościan W.

Przykłady:

Wielościany foremne (platońskie) można pogrupować w dualne pary, z wyjątkiem czworościanu foremnego, który jest dualny sam ze sobą. Np. jeśli połączymy odpowiednio środki ścian dwunastościanu foremnego, to otrzymamy dwudziestościan foremny (lub, ściślej rzecz ujmując, "szkielet" dwudziestościanu foremnego, jego krawędzie). I odwrotnie - po połączeniu środków ścian dwudziestościanu foremnego, powstanie dwunastościan foremny. Podobną własność ma para sześcian i ośmiościan foremny. Parę wielościanów dualnych stanowią również przykładowo sześcio-ośmiościan oraz dwunastościan rombowy.

Przypisy