Wielościan foremny

Platonic solids.jpg

Wielościan foremny a. bryła platońskawielościan, którego wszystkie ściany są przystającymi wielokątami foremnymi oraz wszystkie kąty wielościenne są równe[1].

Animacja obrotu dwunastościanu

Wielościany foremne są szczególnym przypadkiem wielościanów półforemnych (archimedesowskich), w których foremne ściany nie muszą być identyczne (tj. wzajemnie przystające).

Wielościany foremne w przestrzeni trójwymiarowej

Istnieje pięć wielościanów foremnych (z dokładnością do podobieństwa):

NazwaNazwa greckaGrafikaŚcianaLiczba
ścian
Liczba
krawędzi
Liczba
wierzchołków
czworościantetraedrCzworościan foremny
(model 3D)
trójkąt foremny
(równoboczny)
   4   6   4
sześcianheksaedrSześcian
(model 3D)
czworokąt foremny
(kwadrat)
   6   12   8
ośmiościanoktaedrOśmiościan foremny
(model 3D)
trójkąt foremny
(równoboczny)
   8   12   6
dwunastościandodekaedr
(model 3D)
pięciokąt foremny   12   30   20
dwudziestościanikosaedrDwudziestościan foremny
(model 3D)
trójkąt foremny
(równoboczny)
   20   30   12

Dowody istnienia najwyżej pięciu wielościanów foremnych

Pierwszy z dowodów opiera się na analizie łącznej liczby kątów wewnętrznych ścian zbiegających się przy dowolnym wierzchołku.

ścianakąt
wewnętrzny
ściany
liczba ścian
przy
wierzchołku
≥3
wielokrotność kąta
<360°
nazwauwagi
trójkąt60°3180°czworościan foremny
4240°ośmiościan foremny
5300°dwudziestościan foremnyostatni z tej serii, bo 6·60°≥360°
kwadrat90°3270°sześcianjedyny z tej serii, bo 4·90°≥360°
pięciokąt108°3324°dwunastościan foremnyjedyny z tej serii, bo 4·108°≥360°
sześciokąt i następne≥120°3≥360°żaden z tej i następnych serii,
bo 3·120°≥360°

Drugi mniej elementarny dowód powołuje się na twierdzenie Eulera o wielościanach:

gdzie oznacza liczbę wierzchołków wielościanu, liczbę jego ścian, a liczbę krawędzi.

Ponieważ każda ściana jest n-kątem foremnym, a każda krawędź należy do dwóch ścian, mamy

Z kolei z każdego wierzchołka wychodzi krawędzi, z których każda łączy dwa wierzchołki, a zatem

Po wyznaczeniu z dwóch ostatnich zależności i

i po podstawieniu ich do wzoru Eulera dostaniemy

Przekształcając otrzymamy kolejno

oraz

Ponieważ oraz przez rozpatrzenie wszystkich przypadków otrzymuje się następujące możliwości:

nazwa
   1·133czworościan foremny
   2·143sześcian
   1·234ośmiościan foremny
   1·335dwudziestościan foremny
   3·153dwunastościan foremny

Oczywiście znając można wyznaczyć korzystając ze wzoru Eulera i zależności oraz

Widać też dualność wielościanów przy wzajemnej zamianie i

Historia

Wielościany foremne nazywane są także bryłami platońskimi, gdyż Platon jako pierwszy odnotował fakt istnienia ściśle określonej ich liczby. Do jego czasów znano jednak jedynie cztery z nich. Sam Platon, pisząc Timajosa, nie wspomina jeszcze o dwunastościanie. Ten ostatni został odkryty dopiero przez Teajtetosa[a] (ucznia Platona).

Bryły platońskie poruszały wyobraźnię wielu myślicieli i filozofów. Były też wykorzystywane przez nich w rozważaniach kosmologicznych.

W dialogu Timajos Platon pisał, że każdy żywioł można utożsamić z jedną z doskonałych brył (ogień – czworościan, ziemia – sześcian, powietrze – ośmiościan, woda – dwudziestościan). Po odkryciu dwunastościanu foremnego włączył go do swojego systemu jako symbol całego wszechświata[2].

Niemal 2 tysiące lat później, w XVII wieku Kepler użył wielościanów foremnych do swojego modelu kosmologicznego. Jeśli bowiem na sferze o promieniu orbity Merkurego opisać ośmiościan, a na nim opisać następną sferę, to jej promień odpowiadać będzie promieniowi orbity Wenus. Jeśli na tej drugiej sferze opisać dwudziestościan, a na nim kolejną trzecią sferę, to jej promień odpowiada promieniowi orbity Ziemi. I tak kolejno dla następnych wielościanów foremnych i planet: dwunastościan – Mars, czworościan – Jowisz, sześcian – Saturn[b]. Było to pierwsze z odkrytych przez Keplera praw ruchu planet, nie uznane wszakże za prawo natury w dzisiejszym rozumieniu nauki. Odkryta prawidłowość utwierdziła Keplera w głębokim przekonaniu, że Bóg jest matematykiem.

Wielokomórki foremne w przestrzeni n-wymiarowej

foremna 5-komórka
foremna 8-komórka (oktachoron)
foremna 16-komórka
foremna 24-komórka
foremna 120-komórka
foremna 600-komórka

Pojęcie wielościanu foremnego można w naturalny sposób uogólnić definiując wielokomórkę foremną w dowolnej przestrzeni n-wymiarowej euklidesowej (oznaczanej ).

Dla n=4 udowodniono, że istnieje dokładnie 6 wielokomórek foremnych:

NazwaLiczba ścian
trójwymiarowych
(brył foremnych)
Liczba ścian
dwuwymiarowych
(wielokątów
foremnych)
Liczba
krawędzi
Liczba
wierzchołków
Wielokomórka
dualna
foremna 5-komórka
(4-wymiarowy sympleks)
5 czworościanów10 trójkątów105samodualna
foremna 8-komórka
(4-wymiarowy hipersześcian)
8 sześcianów24 kwadratów321616-komórka
foremna 16-komórka16 czworościanów32 trójkątów2488-komórka
foremna 24-komórka24 ośmiościanów96 trójkątów9624samodualna
foremna 120-komórka120 dwunastościanów720 pięciokątów1200600600-komórka
foremna 600-komórka600 czworościanów1200 trójkątów720120120-komórka

Dla dowolnego naturalnego udowodniono, że w przestrzeni istnieją dokładnie trzy wielokomórki foremne[3]:

NazwaLiczba (n-1)-wymiarowych ścianLiczba k-wymiarowych ścian, 0≤kn-1Wielokomórka
dualna
n-wymiarowy sympleks foremny (n-1)-wymiarowych sympleksów k-wymiarowych sympleksówsamodualna
n-wymiarowy hipersześcian (n-1)-wymiarowych hipersześcianów k-wymiarowych hipersześcianów2n-komórka
n-wymiarowa 2n-komórka foremna (n-1)-wymiarowych sympleksów k-wymiarowych sympleksówhipersześcian

Można też rozpatrywać przypadki „Wielokomórka” w przestrzeni 2-wymiarowej to wielokąt foremny; istnieje ich nieskończenie wiele, gdyż dla każdego istnieje -kąt foremny. Z kolei „wielokomórka” w przestrzeni 1-wymiarowej zawsze ma jeden i ten sam kształt – to odcinek i można go traktować jako „foremny”.


Uwagi

  1. Teajtet bardziej jest znany z odkrycia ułamków łańcuchowych.
  2. W czasach Keplera ostatnią znaną planetą był Saturn. Przyjmowane przez Keplera promienie orbit nie były zbyt dokładne.

Przypisy

  1. wielościan foremny, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-10-02].
  2. Matematyka dla humanistówMichał Szurek.
  3. Mathematical puzzles and diversionsMartin Gardner.

Media użyte na tej stronie

600-cell.gif
Autor: Jason Hise, Licencja: CC0
Created by Jason Hise with Maya and Macromedia Fireworks. A 3D projection of a 600-cell performing a simple rotation.
Hexahedron.svg
Autor:
Vector:
, Licencja: CC-BY-SA-3.0
Cube.
24-cell.gif

Created by Jason Hise with Maya and Macromedia Fireworks.

A 3D projection of a 24-cell convex regular 4-polytope (or polychoron) performing a simple rotation.
5-cell.gif

Created by Jason Hise with Maya and Macromedia Fireworks.

A 3D projection of a 5-cell performing a simple rotation.
16-cell.gif

Created by Jason Hise with Maya and Macromedia Fireworks.

A 3D projection of a 16-cell performing a simple rotation.
Platonic Solids Stereo 4 - Dodecahedron.gif
Autor: JovanCormac, Licencja: CC BY-SA 3.0
Illustration of the dodecahedron, using four different methods to highlight its structure:
  • Rotation
  • Folding/unfolding
  • Translucency
  • Most importantly: Stereo vision, recommended viewing distance 50-70 cm at full resolution
Designed & rendered with Wolfram Mathematica 7, assembled & optimized with Ulead GIF Animator 5.
120-cell.gif
Autor: Jason Hise, Licencja: CC0
Created by Jason Hise with Maya and Macromedia Fireworks. A 3D projection of a 120-cell performing a simple rotation.
Icosahedron.svg
Autor: DTR, Licencja: CC-BY-SA-3.0
Icosahedron.
8-cell.gif
An animated GIF of a tesseract.
Tetrahedron.svg
Autor:
Oryginał:
Vector:
, Licencja: CC-BY-SA-3.0
Tetrahedron.
Octahedron.svg
Autor: User:Stannered, Licencja: CC-BY-SA-3.0
Octahedron.