Wielościan foremny

Wielościan foremny a. bryła platońska – wielościan, którego wszystkie ściany są przystającymi wielokątami foremnymi oraz wszystkie kąty wielościenne są równe^[1].

Animacja obrotu dwunastościanu

Wielościany foremne są szczególnym przypadkiem wielościanów półforemnych (archimedesowskich), w których foremne ściany nie muszą być identyczne (tj. wzajemnie przystające).

Wielościany foremne w przestrzeni trójwymiarowej

Istnieje pięć wielościanów foremnych (z dokładnością do podobieństwa):

Nazwa	Nazwa grecka	Grafika	Ściana	Liczba ścian	Liczba krawędzi	Liczba wierzchołków
czworościan	tetraedr	(model 3D)	trójkąt foremny (równoboczny)	4	6	4
sześcian	heksaedr	(model 3D)	czworokąt foremny (kwadrat)	6	12	8
ośmiościan	oktaedr	(model 3D)	trójkąt foremny (równoboczny)	8	12	6
dwunastościan	dodekaedr	(model 3D)	pięciokąt foremny	12	30	20
dwudziestościan	ikosaedr	(model 3D)	trójkąt foremny (równoboczny)	20	30	12

Dowody istnienia najwyżej pięciu wielościanów foremnych

Pierwszy z dowodów opiera się na analizie łącznej liczby kątów wewnętrznych ścian zbiegających się przy dowolnym wierzchołku.

Drugi mniej elementarny dowód powołuje się na twierdzenie Eulera o wielościanach:

${\displaystyle W+S=K+2,}$

gdzie ${\displaystyle W}$ oznacza liczbę wierzchołków wielościanu, ${\displaystyle S}$ liczbę jego ścian, a ${\displaystyle K}$ liczbę krawędzi.

Ponieważ każda ściana jest n-kątem foremnym, a każda krawędź należy do dwóch ścian, mamy

${\displaystyle S\cdot n=2K.}$

Z kolei z każdego wierzchołka wychodzi ${\displaystyle l}$ krawędzi, z których każda łączy dwa wierzchołki, a zatem

${\displaystyle W\cdot l=2K.}$

Po wyznaczeniu z dwóch ostatnich zależności ${\displaystyle W}$ i ${\displaystyle S}$

${\displaystyle W={\frac {2K}{l}};S={\frac {2K}{n}}}$

i po podstawieniu ich do wzoru Eulera dostaniemy

${\displaystyle {\frac {2K}{l}}+{\frac {2K}{n}}=K+2.}$

Przekształcając otrzymamy kolejno

${\displaystyle {\frac {1}{l}}+{\frac {1}{n}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{K}}>{\frac {1}{2}},}$

oraz

${\displaystyle (n-2)(l-2)<4.}$

Ponieważ ${\displaystyle l\geqslant 3}$ oraz ${\displaystyle n\geqslant 3,}$ przez rozpatrzenie wszystkich przypadków otrzymuje się następujące możliwości:

Oczywiście znając ${\displaystyle n,l}$ można wyznaczyć ${\displaystyle W,K,S,}$ korzystając ze wzoru Eulera i zależności ${\displaystyle S\cdot n=2K}$ oraz ${\displaystyle W\cdot l=2K.}$

Widać też dualność wielościanów przy wzajemnej zamianie ${\displaystyle n}$ i ${\displaystyle l.}$

Historia

Wielościany foremne nazywane są także bryłami platońskimi, gdyż Platon jako pierwszy odnotował fakt istnienia ściśle określonej ich liczby. Do jego czasów znano jednak jedynie cztery z nich. Sam Platon, pisząc Timajosa, nie wspomina jeszcze o dwunastościanie. Ten ostatni został odkryty dopiero przez Teajtetosa^[a] (ucznia Platona).

Bryły platońskie poruszały wyobraźnię wielu myślicieli i filozofów. Były też wykorzystywane przez nich w rozważaniach kosmologicznych.

W dialogu Timajos Platon pisał, że każdy żywioł można utożsamić z jedną z doskonałych brył (ogień – czworościan, ziemia – sześcian, powietrze – ośmiościan, woda – dwudziestościan). Po odkryciu dwunastościanu foremnego włączył go do swojego systemu jako symbol całego wszechświata^[2].

Niemal 2 tysiące lat później, w XVII wieku Kepler użył wielościanów foremnych do swojego modelu kosmologicznego. Jeśli bowiem na sferze o promieniu orbity Merkurego opisać ośmiościan, a na nim opisać następną sferę, to jej promień odpowiadać będzie promieniowi orbity Wenus. Jeśli na tej drugiej sferze opisać dwudziestościan, a na nim kolejną trzecią sferę, to jej promień odpowiada promieniowi orbity Ziemi. I tak kolejno dla następnych wielościanów foremnych i planet: dwunastościan – Mars, czworościan – Jowisz, sześcian – Saturn^[b]. Było to pierwsze z odkrytych przez Keplera praw ruchu planet, nie uznane wszakże za prawo natury w dzisiejszym rozumieniu nauki. Odkryta prawidłowość utwierdziła Keplera w głębokim przekonaniu, że Bóg jest matematykiem.

Wielokomórki foremne w przestrzeni n-wymiarowej

foremna 5-komórka

foremna 8-komórka (oktachoron)

foremna 16-komórka

foremna 24-komórka

foremna 120-komórka

foremna 600-komórka

Pojęcie wielościanu foremnego można w naturalny sposób uogólnić definiując wielokomórkę foremną w dowolnej przestrzeni n-wymiarowej euklidesowej (oznaczanej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$).

Dla n=4 udowodniono, że istnieje dokładnie 6 wielokomórek foremnych:

Dla dowolnego naturalnego ${\displaystyle n>4}$ udowodniono, że w przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ istnieją dokładnie trzy wielokomórki foremne^[3]:

Można też rozpatrywać przypadki ${\displaystyle n<3.}$ „Wielokomórka” w przestrzeni 2-wymiarowej to wielokąt foremny; istnieje ich nieskończenie wiele, gdyż dla każdego ${\displaystyle \ell \geqslant 3}$ istnieje ${\displaystyle \ell }$-kąt foremny. Z kolei „wielokomórka” w przestrzeni 1-wymiarowej zawsze ma jeden i ten sam kształt – to odcinek i można go traktować jako „foremny”.

Uwagi

Przypisy