Wieloczynnikowa analiza wariancji

Wieloczynnikowa analiza wariancji jest testem statystycznym służącym ocenie wpływu wielu zmiennych niezależnych (czynników) na wartość rozpatrywanej zmiennej zależnej. Za analizę wieloczynnikową przyjmuje się taką, w której mamy do czynienia z co najmniej dwoma zmiennymi niezależnymi (czynnikami klasyfikującymi).

Założenia

Wyniki uzyskane metodą analizy wieloczynnikowej uznaje się za prawdziwe, o ile spełnione są następujące założenia:

• każda populacja musi mieć rozkład normalny
• wariancje w populacjach są równe.

Teoria

Omówmy podstawy analizy wieloczynnikowej na przykładzie 2-czynnikowej analizy wariancji.

Podobnie jak w przypadku analizy jednoczynnikowej, tak i teraz wpływ zmiennych niezależnych na zmienną zależną weryfikowany jest z uwzględnieniem wielu ich poziomów – dla przykładu, zmienna niezależna pn. „satysfakcja pacjenta z terapii lekowej” może być rozpatrywana na 4 poziomach: terapia lekiem I, terapia lekiem II, terapia lekiem III, terapia przy użyciu placebo. Analiza wieloczynnikowa prowadzi zatem do wskazania jak na zmienną zależną wpływają:

• czynniki klasyfikujące (zmienne niezależne) – oznaczane z reguły wielkimi literami (A, B, C itd.);
• wzajemne interakcje między czynnikami klasyfikującymi (zmiennymi niezależnymi) – oznaczane poprzez wskazanie współzależnych czynników (AB, AC itd.);
• poziomy czynników klasyfikujących (zmiennych niezależnych) – oznaczane z reguły małymi literami (a, b, c itd.).

Co istotne, ponieważ wieloczynnikowa analiza wariancji uwzględnia interakcję czynników (zmiennych niezależnych) między sobą – czyni to niezasadnym metodologicznie wielokrotne stosowanie jednoczynnikowych analiz wariancji dla każdego z rozpatrywanych czynników kwalifikujących.

Załóżmy zatem, że spełnione są ww. założenia, a we wszystkich podgrupach wyznaczonych przez czynniki klasyfikujące A (niech tworzy go a-poziomów) i B (niech tworzy go b-poziomów) znajduje się taka sama liczba obserwacji (k).

Układ hipotez zerowych jest następujący:

• ${\displaystyle H_{A0}{:}}$ Czynnik A nie wpływa na zmienną zależną.
• ${\displaystyle H_{B0}{:}}$ Czynnik B nie wpływa na zmienną zależną.
• ${\displaystyle H_{AB0}{:}}$ Wzajemna interakcja czynników AB nie wpływa na zmienną zależną.

Dla każdego z czynników A, B (źródeł zmienności) oraz interakcji AB wyznaczany jest osobny zestaw parametrów, na które składają się: liczba stopni swobody ${\displaystyle (\upsilon _{z}),}$ suma kwadratów odchyleń ${\displaystyle (SS_{z})}$ oraz średni kwadrat odchyleń ${\displaystyle (MS_{z}).}$ Parametry te stanowią podstawę do obliczenia wartości statystyki testowej ${\displaystyle (F_{z}).}$ Statystyka ${\displaystyle F_{z}}$ ma, przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej, rozkład F Snedecora o liczbie stopni swobody odpowiadającej ${\displaystyle \upsilon _{z}}$ i czynnikowi losowemu ${\displaystyle e}$ (błąd).

Komplet przydatnych wzorów, z uwzględnieniem powyższych uwarunkowań, zestawiono poniżej:

• liczba stopni swobody: ${\displaystyle \upsilon _{A}=a-1,}$ ${\displaystyle \upsilon _{B}=b-1,}$ ${\displaystyle \upsilon _{AB}=(a-1)\cdot (b-1),}$ ${\displaystyle e=n-ab.}$

• suma kwadratów odchyleń: ${\displaystyle SS_{A}=bk\sum \limits _{i=1}^{a}({\overline {y_{i\cdot \cdot }}}-{\overline {y}})^{2},}$ ${\displaystyle SS_{B}=ak\sum \limits _{j=1}^{b}({\overline {y_{\cdot j\cdot }}}-{\overline {y}})^{2},}$ ${\displaystyle SS_{AB}=k\sum \limits _{i=1}^{a}\sum \limits _{j=1}^{b}({\overline {y_{ij\cdot }}}-{\overline {y_{i\cdot \cdot }}}-{\overline {y_{\cdot j\cdot }}}+{\overline {y}})^{2},}$ ${\displaystyle SS_{e}=\sum \limits _{i=1}^{a}\sum \limits _{j=1}^{b}\sum \limits _{l=1}^{k}(y_{ijl}-{\overline {y_{ij\cdot }}})^{2}.}$

• średni kwadrat odchyleń: ${\displaystyle MS_{A}={\frac {SS_{A}}{\upsilon _{A}}}={\frac {SS_{A}}{a-1}},}$ ${\displaystyle MS_{B}={\frac {SS_{B}}{\upsilon _{B}}}={\frac {SS_{B}}{b-1}},}$ ${\displaystyle MS_{AB}={\frac {SS_{AB}}{\upsilon _{AB}}}={\frac {SS_{AB}}{(a-1)(b-1)}},}$ ${\displaystyle MS_{e}={\frac {SS_{e}}{\upsilon _{e}}}={\frac {SS_{e}}{n-ab}}.}$
• statystyka testowa: ${\displaystyle F_{A}={\frac {MS_{A}}{MS_{e}}},}$ ${\displaystyle F_{B}={\frac {MS_{B}}{MS_{e}}},}$ ${\displaystyle F_{AB}={\frac {MS_{AB}}{MS_{e}}}.}$
• wartość krytyczna odczytywana z tablic: ${\displaystyle F_{v_{A},v_{e}},}$ ${\displaystyle F_{v_{B},v_{e}},}$ ${\displaystyle F_{v_{AB},v_{e}}.}$

Jeżeli w świetle dokonanych szacunków, przy ustalonej wartości poziomu istotności ${\displaystyle \alpha }$, odczytana z tablic wartość krytyczna ${\displaystyle F_{v_{z},v_{e}}}$ jest mniejsza od wyliczonej wartości statystyki testowej ${\displaystyle F_{z}}$ – odrzucamy hipotezę zerową ${\displaystyle H_{0}}$ na rzecz hipotezy alternatywnej ${\displaystyle H_{1}}$^[1].

Zobacz też

• analiza wariancji
• próba statystyczna
• test dla średniej
• test dla wariancji
• weryfikacja hipotez statystycznych

Przypisy