Wielomian charakterystyczny

Wielomian charakterystyczny – wielomian zawierający informacje o niektórych własnościach macierzy kwadratowej, w szczególności jej wartościach własnych, wyznaczniku i śladzie.

Motywacja

Zbiór wartości własnych macierzy możemy zakodować, tworząc wielomian, którego pierwiastki są tymi wartościami. Dla macierzy diagonalnej jest to łatwe do wyliczenia: jeśli na głównej przekątnej leżą wartości ${\displaystyle a,b,c,}$ to wielomian charakterystyczny ma postać:

${\displaystyle (t-a)(t-b)(t-c)\dots }$

(z dokładnością do znaku). Wynika to z faktu, że wartości na przekątnej są tu wartościami własnymi tej macierzy.

Dla dowolnej macierzy ${\displaystyle \mathbf {A} }$ sytuacja wygląda następująco: jeśli ${\displaystyle \lambda }$ jest wartością własną ${\displaystyle \mathbf {A} ,}$ to istnieje wektor własny ${\displaystyle \mathbf {v\neq 0} ,}$ taki że

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,}$

czyli

${\displaystyle (\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} )\mathbf {v} =0}$

(gdzie ${\displaystyle \mathbf {I} }$ jest macierzą jednostkową). Ponieważ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ jest niezerowy, oznacza to, że macierz ${\displaystyle \lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} }$ jest macierzą osobliwą (jej wyznacznik jest równy 0). Tym samym pierwiastki wielomianu ${\displaystyle \det(\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} )}$ są wartościami własnymi ${\displaystyle \mathbf {A} .}$

Definicja

Niech ${\displaystyle A\in M_{n}(\mathbb {K} ),}$ gdzie ${\displaystyle K}$ jest pewnym ciałem (np. ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych).

Wielomian charakterystyczny ${\displaystyle p_{A}(t)}$ macierzy kwadratowej ${\displaystyle \mathbf {A} }$ definiuje się jako^[1]:

${\displaystyle p_{A}(t)=\det(t\mathbf {I} -\mathbf {A} ).}$

Przykład

Dla obliczenia wielomianu charakterystycznego macierzy ${\displaystyle \mathbf {A} {:}}$

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$

należy obliczyć wyznacznik macierzy

${\displaystyle t\mathbf {I} -\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}t-2&-1\\1&t\end{pmatrix}}}$

Ma on postać

${\displaystyle (t-2)t-1(-1)=t^{2}-2t+1.}$

Własności

Stopień wielomianu charakterystycznego macierzy ${\displaystyle n\times n}$ jest równy ${\displaystyle n.}$ Wyraz wolny tego wielomianu ${\displaystyle p_{A}(0)}$ jest równy ${\displaystyle (-1)^{n}\cdot \det(\mathbf {A} ),}$ współczynnik przy ${\displaystyle t^{n-1}}$ jest równy ${\displaystyle -\operatorname {tr} (\mathbf {A} )}$ (gdzie tr oznacza ślad macierzy).

Dla macierzy ${\displaystyle 2\times 2}$ zachodzi zatem:

${\displaystyle p_{A}(t)=t^{2}-\operatorname {tr} (\mathbf {A} )t+\det(\mathbf {A} ).}$

Każdy wielomian rzeczywisty nieparzystego stopnia ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty, co oznacza że każda macierz stopnia nieparzystego ma co najmniej jedną rzeczywistą wartość własną.

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona mówi, że podstawiając jako argument wielomianu charakterystycznego ${\displaystyle \mathbf {A} }$ samą macierz ${\displaystyle \mathbf {A} ,}$ otrzyma się macierz zerową: ${\displaystyle p_{A}(\mathbf {A} )=0.}$ A zatem każda macierz spełnia swoje równanie charakterystyczne. W konsekwencji, wielomian minimalny macierzy ${\displaystyle \mathbf {A} }$ musi dzielić jej wielomian charakterystyczny.

Macierze podobne mają te same wielomiany charakterystyczne. Zależność ta nie działa jednak w drugą stronę – macierze o identycznych wielomianach charakterystycznych nie muszą być podobne.

Macierz ${\displaystyle \mathbf {A} }$ jest podobna do macierzy trójkątnej wtedy i tylko wtedy, gdy jej wielomian charakterystyczny da się rozłożyć na czynniki liniowe nad ${\displaystyle K.}$

Zobacz też

• wielomian charakterystyczny układu

Przypisy